1.下列無窮數列中,極限不存在的數列是(   )

A.1,,,,,…

B.3,3,3,3,…,3,…

C.3,,,…,,…

D.1,0,-1,0,…,,…

分析 本題考查常見數列的極限.

解 ∵(-1)ⁿ⁺¹?=0,3=3,

=()=2,

∴A、B、C存在極限.

而D是一擺動數列,不存在極限.

答案 D

2.若a_n=3且b_n=-1,那么(a_n+b_n)²等于(    )

A.4                 B.-4              C.16              D.-16

分析 本題考查數列極限的運算法則,即如果兩個數列都有極限,那么它們的和、差、積、商的極限分別等于它們極限的和、差、積、商.

解 (a_n+b_n)²=(a_n²+2a_nb_n+b_n²)

=a_n²+2a_n?b_n+b_n²

=3²+2×3×(-1)+(-1)²=4.

答案 A

3.若在x=2處連續,則實數a、b的值是(   )

A.-1,2             B.0,2              C.0,-2              D.0,0

分析 本題考查函數的左、右極限與函數極限的關系、函數連續的概念及它們之間的關系.

解 f(x)在x=2處連續

∵f(x)=(x²+a)=4+a=4,∴a=0.

f(x)=(x+b)=2+b=4,∴b=2.

答案 B

4.等差數列{a_n}、{b_n}的前n項和分別為S_n和T_n,若則的值等于(　　)

A.1　　　　　　　B.　　　　　　　　C.　　　　　　　　D.

分析　本題考查當n→∞時數列的極限.解題的關鍵是把結論中通項的比值用條件中前n項和的比值表示出來,即把轉化成關于n的多項式.

解法一　設S_n=k_n?2_n,T_n=kn(3n+1)(k為非零常數).

由a_n=S_n-S_n-1(n≥2),

得a_n=2kn²-2k(n-1)²=4kn-2k,

b_n=kn(3n+1)-k(n-1)［3(n-1)+1］=6kn-2k.

∴＝

解法二　∵=

又∵

∴

∴

答案　C

5.若則常數k的值為(　　)

A.2　　　　　　　　B.　　　　　　　　C.-2　　　　　　　　D.-

解析　原式=

∵∴k=.

答案　B

6.的值為(　　)

A.3　　　　　　　B.-3　　　　　　　C.-2　　　　　　　D.不存在

分析　本題考查函數在x→x₀處的極限值.如果把x=x₀代入函數解析式,解析式有意義,那么f(x₀)的值就是函數的極限值.

解　

答案　B

7.函數f(x)= 的不連續點是(   )

A.x=2                         B.x=-2

C.x=2和x=-2                   D.x=4

分析 本題考查函數的連續性.一般地,函數f(x)在點x=x₀處連續必須滿足下面三個條件：

(1)函數f(x)在點x=x₀處有定義；

(2)存在；

(3),即函數f(x)在點x₀處的極限值等于這一點的函數值.

解 因函數在x=±2時無定義,所以不連續點是x=±2.

答案 C

8等于(   )

A.               B.                 C.               D.1

分析 由于“和的極限等于極限的和”只能用于有限多項相加,因此,對于本題應先求和化為有限項的算式,再運用極限的運算法則求極限.

解 ∵

∴原式=

答案 B

9.★已知一個數列的通項公式為f(n),n∈N*,若7f(n)=f(n-1)(n≥2)且f(1)=3,則［f(1)+f(2)+…+f(n)］等于(   )

A.             B.             C.-7             D.-

分析 本題考查當n→∞時數列的極限.關鍵是先求出數列的通項公式f(n),然后求其前n項和,把待求極限式化成有限項形式,即化成關于n的多項式,再求極限.

解 ∵f(1)=3≠0,∴

∴數列為首項為3,公比為的等比數列.

∴f(n)=3?()^n-1.

由公比不為1的等比數列的前n項和公式,得

S_n=

∴

答案 A

10.(2x+1)ⁿ=0成立的實數x的范圍是(   )

A.x=-             B.-＜x＜0

C.-1＜x＜0           D.-1＜x≤0

分析本題考查數列的一個重要極限,即limn→∞an=0時,有|a|＜1.

解 要使(2x+1)ⁿ=0,只需|2x+1|＜1,即-1＜2x+1＜1.解得-1＜x＜0.

答案 C

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.          .

分析 當n無限增大時, 的分子中含無限多項,而“和的極限等于極限的和”只能用于有限多項相加.因此應先將分子化為只含有限多項的算式,然后再運用極限的運算法則求極限.

解 原式=

答案 1

12.            .

分析 本題考查當x→x₀時函數的極限.若把x=1代入分子、分母中,分式變成“”型,不能直接求極限,因此可把分子、分母分別進行因式分解,約去分子、分母中的“零因式”,然后再代入求極限.

解

答案

13.★一個熱氣球在第一分鐘時間里上升了25米高度,在以后的每一分鐘里,它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%,這個熱氣球最多能上升              米.

解析 由題意,該熱氣球在第一分鐘,第二分鐘,…,上升的高度組成首項為25,公比為的等比數列,它上升的最大高度S=S_n=

答案 125

14.             .

分析 本題考查qⁿ=0,|q|＜1的應用.因為當n→∞時,構成該式的四項均沒有極限,故應將分子、分母同時除以底數最大、次數較高的項3ⁿ,以期轉化成每一項都有極限的形式,再運用極限的運算法則求解.

解

答案

15.(本小題滿分8分)討論函數在x=2處的左極限、右極限以及在x=2處的極限.

分析 本題考查函數在某一點處的極限,左、右極限的定義及其相互關系.

對于常見函數,可先畫出它的圖象,觀察函數值的變化趨勢,利用極限的定義確定各種極限.

解 當x→2^-時,函數無限接近于0,

即      3分

當x→2⁺時,函數無限接近于2,

即

綜上,可知≠,    6分

∴函數f(x)在x=2處極限不存在.      8分

16.(本小題滿分8分)已知數列{a_n}中,a_n=S_n為其前n項的和,求的值.

分析 由于中是無窮項和的極限,必須先求得和的化簡式,轉化為有限項的極限問題.

而是一類裂項后有明顯相消項的數列,所以采用了裂項法.但相消時應注意消去項的規律,即消去了哪些項,保留了哪些項.

解

∴        8分

17.(本小題滿分8分)如圖,已知Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=0.5,AB=1,在△ABC內有一系列正方形,求所有這些正方形面積之和.

分析 本題考查等比數列前n項和的極限.

解 設正方形BD₁C₁B₁、D₁D₂C₂B₂、…的邊長分別為a₁,a₂,….

∵AB=1,tanC=0.5,∴BC=2.

由相似三角形的知識可得,

∴a₁=.同理,可得a₂=a₁,…,a_n=a_n-1.

∴{a_n}是以為首項,以為公比的等比數列.   3分

設{S_n}是第n個正方形的面積,則S_n是以為首項, 為公比的等比數列.   4分

∴(S₁+S₂+…+S_n)=

即所有這些正方形面積之和為.          8分

18.★(本小題滿分10分)已知等差數列{a_n}的前三項為a,4,3a,前n項和為S_n,S_k=2 550.

(1)求a及k的值;

(2)求的值.

解 (1)∵a+3a=2×4,∴a=2.

∴數列{a_n}是首項為2,公差為2的等差數列.     2分

∵2k+×2=2550,∴k=50,

即a、k的值分別為2、50.     5分

(2)∵S_n=2n+×2=n²+n,

∴

∴

∴          

19.★(本小題滿分10分)已知求m、n的值.

分析 本題考查當x→x₀時,函數的極限.關鍵是通過極限的運算構造方程組,求m、n.

由可知x²+mx+2含有x+2這一因式,∴x=-2為方程x²+mx+2=0的根.

∴m=3,代入進而可求得n.

也可由得

解出m,再求n.

解法一 ∵

∴x=-2為方程x2+mx+2=0的根.

∴m=3.    4分

又

∴n=-1.          9分

∴m=3,n=-1.       10分

∴(-2)²+(-2)m+2=0,m=3.

同上可得n=-1.