12.(2009安徽卷理)(本小題滿分12分)

　已知函數，討論的單調性.

本小題主要考查函數的定義域、利用導數等知識研究函數的單調性，考查分類討論的思想方法和運算求解的能力。本小題滿分12分。

解：的定義域是(0,+), 21世紀教育網　 　

設,二次方程的判別式.

①　　 當，即時，對一切都有,此時在上是增函數。

②　　 當,即時，僅對有,對其余的都有,此時在上也是增函數。 　　　　

③　　 當，即時，

方程有兩個不同的實根,,.

	+	0	_	0	+
	單調遞增	極大	單調遞減	極小	單調遞增

此時在上單調遞增, 在是上單調遞減, 在上單調遞增.

11.(2009廣東卷理)(本小題滿分14分)

已知二次函數的導函數的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設．

(1)若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；

(2)如何取值時，函數存在零點，并求出零點． 　　　　　　

解：(1)依題可設 ()，則；

　　 又的圖像與直線平行　 　　　

　　 ， ，　

設，則 21世紀教育網　 　

當且僅當時，取得最小值，即取得最小值

當時，　 解得

當時，　 解得

　 (2)由()，得　

當時，方程有一解，函數有一零點；

當時，方程有二解，

若，，

函數有兩個零點，即；

若，，

函數有兩個零點，即；

當時，方程有一解,　 ,

函數有一零點

綜上，當時, 函數有一零點；

當()，或()時，

函數有兩個零點；

當時，函數有一零點.

10.設函數，其中常數a>1

(Ⅰ)討論f(x)的單調性;

(Ⅱ)若當x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。21世紀教育網　　

解析：本題考查導數與函數的綜合運用能力，涉及利用導數討論函數的單調性，第一問關鍵是通過分析導函數，從而確定函數的單調性，第二問是利用導數及函數的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。

解： (I) 21世紀教育網　　

　　　 由知，當時，，故在區間是增函數；

　　　　 當時，，故在區間是減函數；

　　　　 當時，，故在區間是增函數。

　　　　 綜上，當時，在區間和是增函數，在區間是減函數。

　　 (II)由(I)知，當時，在或處取得最小值。

由假設知21世紀教育網　　

　　　　　　 即　　 解得　 1<a<6

故的取值范圍是(1，6)

9.(2009山東卷文)(本小題滿分12分)

已知函數,其中 　　　

(1)　　　 當滿足什么條件時,取得極值?

(2)　　　 已知,且在區間上單調遞增,試用表示出的取值范圍.

解:　 (1)由已知得,令,得,

要取得極值,方程必須有解,

所以△,即,　 此時方程的根為

,,

所以 　　　

當時,

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

當時, 　　　

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

綜上,當滿足時, 取得極值. 　　　

(2)要使在區間上單調遞增,需使在上恒成立.

即恒成立,　 所以

設,,

令得或(舍去), 　　　

當時,,當時,單調增函數;

當時,單調減函數,

所以當時,取得最大,最大值為.

所以

當時,,此時在區間恒成立,所以在區間上單調遞增,當時最大,最大值為,所以

綜上,當時, ;　　 當時, 　　　

[命題立意]:本題為三次函數,利用求導的方法研究函數的極值、單調性和函數的最值,函數在區間上為單調函數,則導函數在該區間上的符號確定,從而轉為不等式恒成立,再轉為函數研究最值.運用函數與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.

8.(2009山東卷理)(本小題滿分12分)

兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.

(1)將y表示成x的函數；

(11)討論(1)中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最��？若存在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。

解法一:(1)如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當時，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數為

(2),,令得,所以,即,當時, ,即所以函數為單調減函數,當時, ,即所以函數為單調增函數.所以當時, 即當C點到城A的距離為時, 函數有最小值.

解法二: (1)同上.

(2)設,

則,,所以

當且僅當即時取”=”.

下面證明函數在(0,160)上為減函數, 在(160,400)上為增函數.

設0<m₁<m₂<160,則

,

因為0<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函數在(0,160)上為減函數.

同理,函數在(160,400)上為增函數,設160<m₁<m₂<400,則

因為1600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函數在(160,400)上為增函數.

所以當m=160即時取”=”,函數y有最小值,

所以弧上存在一點，當時使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.

[命題立意]:本題主要考查了函數在實際問題中的應用,運用待定系數法求解函數解析式的 能力和運用換元法和基本不等式研究函數的單調性等問題.

7.(2009江蘇卷)(本小題滿分16分)

設為實數，函數.

(1)若，求的取值范圍；

(2)求的最小值；

(3)設函數，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.

[解析]本小題主要考查函數的概念、性質、圖象及解一元二次不等式等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分

(1)若，則

(2)當時，

　 當時，

　 綜上

(3)時，得，

當時，；

當時，△>0,得：

討論得：當時，解集為;

當時，解集為;

當時，解集為.

6.(2009北京理)(本小題共13分)

設函數

(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)求函數的單調區間；

(Ⅲ)若函數在區間內單調遞增，求的取值范圍.

21世紀教育網　　　　　 　[解析]本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．

(Ⅰ),

　　　　　　 曲線在點處的切線方程為.

(Ⅱ)由，得，

　　　 若，則當時，，函數單調遞減，

　　　　　　　 當時，，函數單調遞增，

　　 若，則當時，，函數單調遞增，

　　　 當時，，函數單調遞減，

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，若，則當且僅當，

即時，函數內單調遞增，

若，則當且僅當，

即時，函數內單調遞增，

綜上可知，函數內單調遞增時，的取值范圍是.

5.(2009北京文)(本小題共14分)

設函數.

(Ⅰ)若曲線在點處與直線相切，求的值；

(Ⅱ)求函數的單調區間與極值點.

[解析]本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．

(Ⅰ),

∵曲線在點處與直線相切，

∴

(Ⅱ)∵,

當時，，函數在上單調遞增，

此時函數沒有極值點.

當時，由，

當時，，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增，

∴此時是的極大值點，是的極小值點.

4.(2009浙江文)(本題滿分15分)已知函數 ．

　 (I)若函數的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值；

　 (II)若函數在區間上不單調，求的取值范圍．

解析：(Ⅰ)由題意得

　　　 又 ，解得，或

　　 (Ⅱ)函數在區間不單調，等價于

　　　　　 導函數在既能取到大于0的實數，又能取到小于0的實數

　　　　　 即函數在上存在零點，根據零點存在定理，有

　　　　　 ，　 即：

　　　 整理得：，解得

3.(2009浙江理)(本題滿分14分)已知函數，，

其中．21世紀教育網　　

　 (I)設函數．若在區間上不單調，求的取值范圍；

　 (II)設函數　 是否存在，對任意給定的非零實數，存在惟一

的非零實數()，使得成立？若存在，求的值；若不存

在，請說明理由．

解析：(I)因，，因在區間上不單調，所以在上有實數解，且無重根，由得 21世紀教育網　 　

，令有，記則在上單調遞減，在上單調遞增，所以有，于是，得，而當時有在上有兩個相等的實根，故舍去，所以；21世紀教育網　　

(II)當時有；

當時有，因為當時不合題意，因此，

下面討論的情形，記A，B=(ⅰ)當時，在上單調遞增，所以要使成立，只能且，因此有，(ⅱ)當時，在上單調遞減，所以要使成立，只能且，因此，綜合(ⅰ)(ⅱ)；

當時A=B，則，即使得成立，因為在上單調遞增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零實數，要使成立，所以滿足題意．21世紀教育網