高考數學第一輪復習---函數最值的應用——青夏教育精英家教網——

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試題

高考數學第一輪復習---函數最值的應用

一、最值綜合與應用問題：

1．最值綜合問題：這是中學數學最重要的題型之一，題型非常廣泛.

①幾何圖形的最值問題：在平幾、立幾、解幾圖形中求解面積、體積、距離及各種幾何量的最大、最小值；

②代數中的最值問題：求解方程（或不等式）的最大、最小解，數列的最大、最小項，變量或代數式的最大、最小取值，等等；

2．最值應用問題：這是應用問題中最典型的內容，如求解利潤、費用的最大與最小，用料，時間最少，流量、銷量最大，選取的方法最多、最少等，都是常見的應用問題。

（二）學習要點：

在中學數學范圍內，最值綜合與應用問題幾乎都要運用函數的思想與方法解決，解答程序是：

①正確選擇變量作自變量，根據問題的條件將問題轉化為函數，建立函數的解析式，并求函數的（實際型）定義域；

②求函數的極值，并結合函數的定義域得到函數的最值；

【例1】如圖，扇形AOB的半徑為1，

中心角為45°，矩形EFGH內接于扇形，

求矩形對角線長的最小值.

[解析]這是一道高考題，需要用函數思想解決它，

但是取什么量作自變量是解決這個問題的關鍵，應

反復斟酌. 根據這個問題的圖形特點，取

將對角線長表示成這個角的函數是比較好的想法.

所以，當時，

[解法二]設矩形的高

∴矩形的寬

∴對角線

令

令

在的左、右兩側取定義域內兩點，如取

得

∴的值在處左負右正，

.

[評析]該問題的難點是正確選擇自變量,上面兩種解法各有優缺點,解法一雖然簡單些,但選擇”角”作自變量有時會涉及到過多的三角知識,在許多情況下會出現困難的運算,應慎重;解法二選擇矩形的邊長為自變量的想法要常規一些.

【例2】已知正四棱錐邊長為3，求它的體積的最大值.

[解析]設底面邊長為，

且左正右負，∴當.

(初等方法)

等號成立時,

[評析]立體幾何中的最值綜合問題是高中數學中的一種重要題型,在立幾的復習中將會作更多的討論.

【例3】設是定義在上以2為周期的周期函數,且為偶函數,已知在區間[2,3]上=－2(－3)²+4,

（Ⅰ）求時的解析式；

（Ⅱ）若矩形ABCD的兩個頂點A、B在軸上，另兩個頂點C、D在函數的圖象上，求這個矩形面積的最大值.

（Ⅱ）設則，

當

設

∴矩形ABCD面積

令

且左正右負，

[評析]這是代數與幾何的綜合型的最值問題，由于這種問題能綜合考核較多的數學能力，因此這是常見的試題形式，在該問題中求的值域時，換元這一步是很重要的想法，這樣大大降低了運算量.

【例4】一變壓器的鐵芯截面為正十字型,為保證所需的磁通量,要求十字應具有的面積，問應如何設計十字型寬及長，才能使其外接圓的周長最短，這樣可使繞在鐵芯上的銅線最節省.

由條件知:即

設外接圓的半徑為R，即求R的最小值，

等號成立時，

∴當時R²最小，即R最小，從而周長最小，

此時

[評析]這是最值的應用問題，在函數型的應用問題中，最值應用問題占了很大的比例，也是緊常見的應用題的試題形式，應多加強這方面的訓練.

（一）知識歸納：

二、最值在參數討論中的應用

1．“恒成立”問題：“設函數的定義域為區間D，

①若對恒成立

②若對恒成立

2．“存在”問題：設函數的定義域為區間D，

①若存在，使得

②若存在，使得

（二）學習要點：

1．“恒成立”與“存在”是參數討論中的兩類非常重要的問題，而通過求函數的最值是解決這兩類問題的重要方法，在具體解決問題時又有兩條基本思路：

①將“參數”與“變量”分離在不等號的兩邊，然后變量形成的函數的最值；

②“參數”與“變量”不分離，將整個式子看成一個函數，并求它的最值.

2．必須注意，如果在定義區間D上沒有最大或最小值，而只有上限或下限，則最后的結果可能要將“＜（＞）”改為“≤（≥）”.

【例1】不論實數取何值,直線與雙曲線總有公共點，求實數的取值范圍.

[解析]曲線的公共點為方程組的解,命題最終化歸為二次方程的判斷式“對恒成立”.

聯立

（1）若，顯然當時方程無解，命題不成立；

（2）若方程為一元二次方程，

則恒成立，

[評析]這是高考中的一道基礎型試題，如果對“恒成立”的概念與方法很熟悉，則問題解答得心應手.

[解析] A≠ 不等式有角,這是“存在”性問題.

≠ 不等內有解，

即存在，使得

設

故命題又等價于

求導得

，且的值在處左正右負，實數的取值范圍是

[評析]有關“存在”的參數討論問題也是參數討論問題的重要題型，其中有許多與最值有關，這類問題的理解比“恒成立”要困難一些.

【例3】設若，問是否存在使得？說明理由.

[解析] 這是關于“存在”性問題，注意問題中是變量，是參數.

設存在這樣的,，

則命題等價于

的對稱軸內單調遞增，

得，

顯然正確，故存在，使得.

[評析]如果從“存在”的思想方法來理解并解答該問題，則解題思路非常清晰，才能寫出上面既簡潔，又嚴密的解題過程.

《訓練題》

一、選擇題：

1．若關于的不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是（）

A． B．

C． D．

2．如果存在實數使得不等式|+1|－|－2|成立，則實數的取值范圍是（）

A． B． C． D．

3．設，如果恒成立，那么（）

A． B． C． D．

4．若時總有則實數的取值范圍是（）

A． B． C． D．

5．若關于的不等式內有解，則實數的取值范圍是（）

A． B． C． D．

6．設數列若的每一項總小于它的后面的項，則的取值范圍是

（）

A． B． C． D．

二、填空題：

7．若不等式對任意實數恒成立，則實數的取值范圍是

.

8．若的解集為空集，則實數的取值范圍是 .

9．若不等式內有解，則實數的取值范圍是 .

10．在一塊半徑為R的半圓形鐵皮中截出一塊矩形，矩形的一邊在半圓的直徑上，則這個矩形的最大面積是 .

三、解答題：

11．求外切于半徑為1的球的圓錐的體積最小值.

12．由點P（0，1）引圓的割線與該圓交于A、B兩點，求△AOB的面積的最大值（O為原點）及此時割線AB的方程.

13．機動車輛通過大橋，為了安全，同一股道上的兩輛車的間距不得小于，其中是車速，是平均車身長度，為比例系數.

已測定：車速為時，安全車距為

問應規定怎樣的車速可使同一股道上的車流量最大？（車流量即單位時間內通過的車輛數）.

14．對定義（的單調減函數使得：

恒成立，求的取值范圍.

15．已知函數

（Ⅰ）求函數的反函數；

（Ⅱ）若函數在上是單調函數，求實數的取值范圍.

《答案與解析》

一、選擇題：

1．A 2．B 3．D 4．D 5．A 6．B

二、填空題：

7．， 8．， 9．，10．R² .

三、

11．如圖，設圓錐的高底半徑為，

∽PAD，且OE=OD=1，

即

∴圓錐體積

且的值在處左負右正，

12．設AB方程為O到AB的距離

令

求導得單調遞減，

13．，

則車流量

當且僅當時等號成立. 當時車流量最大；

14．命題等價于恒成立，

①

②

由①得：③；

由②得：

④；

由③、④得取值范圍是

15．（Ⅰ）

（Ⅱ）

（1）若在內為增函數，則即對于恒成立，記

在上為增函數，

（2）若在內為減函數，則對恒成立，

綜上，的取值范圍是

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