(9)  _________.

(10) 在△中，角所對的邊分別為.若∠，則∠等于_________度.

(11) 若展開式中的二項式系數和為512，則等于_________；該展開式中的常

數項為_________.     

(12) 已知動直線平分圓，則直線與圓為參數)的位置關系是_________.

(13) 過拋物線的焦點作直線，交拋物線于兩點，交其準線于 點.若，則直線的斜率為_________.

(14) 定義映射，其中，.已知對所有的有序正整數對滿足下述條件：①；②若，；

③，則的值是_________；的表達式為_________（用含的代數式表示）.

得分

評卷人

(15)（本小題滿分13分）

已知函數．

（Ⅰ）求函數的最小正周期，并寫出函數圖象的對稱軸方程；

（Ⅱ）若，求函數的值域．

得分

評卷人

(16) （本小題滿分13分）

在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較．在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑．現在可供選用的不同添加劑有6種，其中芳香度為1的添加劑1種，芳香度為2的添加劑2種，芳香度為3的添加劑3種．根據試驗設計原理，通常要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗．

（Ⅰ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率；

（Ⅱ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數的概率；

（Ⅲ）用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和，寫出的分布列，并求的數學期望．

得分

評卷人

(17) （本小題滿分14分）

如圖，在直三棱柱中, 已知， ，，是的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

得分

評卷人

(18)（本小題滿分13分）

已知函數．

（Ⅰ）寫出函數的定義域，并求函數的單調區間；

（Ⅱ）設過曲線上的點的切線與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最小值，并求此時點的坐標.

得分

評卷人

(19)（本小題滿分13分）

已知的三邊長成等差數列，若點的坐標分別為．

（Ⅰ）求頂點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若線段的延長線交軌跡于點，當  時，求線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標的取值范圍．

得分

評卷人

(20)（本小題滿分14分）

已知數列的前項和為，且，其中．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列滿足，為的前項和，求證：

；

（Ⅲ）是否存在正整數，使得成立？若存在，請求出和的值；若不存在，請說明理由．

北京市朝陽區高三統一練習㈠

              數學理科答案            2009.4

一、選擇題:

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

D

A

C

D

A

A

(9)  ;           (10)  105°;           (11)  9,  ;         (12)  相交

(13)  ;     (14)   6,  .

(15) 解:（Ⅰ）因為

，

所以, 函數的最小正周期為2．       

由，得 .

故函數圖象的對稱軸方程為.     ………………8分

（Ⅱ）因為，所以．

所以.

所以函數的值域為．            ………………13分

(16) 解：（Ⅰ）設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3”為事件A，則

答：所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率是   ……4分

（Ⅱ）設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數”為事件B，

兩種添加劑的芳香度之和為偶數有三種可能：芳香度為1和3，芳香度為2和2，芳香度為3和3，其中芳香度為1和3的概率為

芳香度為2和2的概率為

芳香度為3和3的概率為  

所以

答：所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數的概率是  ……………9分

（Ⅲ）的可能取值為3，4，5，6，且

所以的分布列為

3

4

5

6

P

所以,              ………………13分

(17) 解法一：

（Ⅰ）證明：因為，

是的中點，所以.

由已知，三棱柱是直三棱柱，

所以平面平面.

所以平面.

又因為平面,

所以.        ………………5分

（Ⅱ）解：由（1）知平面.

過作，垂足為,連結.

由三垂線定理可知，

所以是二面角的平面角.

由已知可求得，,   所以.

所以二面角的大小為.

由于二面角與二面角的大小互補，

所以二面角的大小為.              ………………10分

（Ⅲ）過D作,垂足為,連結.

由（Ⅱ）可證得平面,所以,可證得平面.

所以, 為直線與平面所成的角.

在直角三角形中，可知，所以.

在直角三角形中，可知=.

在直角三角形中，=.

所以直線與平面所成角的正弦值為.     ………………14分

解法二：

以的中點為原點，先證明平面，建立空間直角坐標系（如圖）.由已知可得

、、、、、.

（Ⅰ）證明：，.

因為，

所以.             ………………5分

（Ⅱ）解：.

設平面的一個法向量為，

由  得  

解得  所以.

又知，平面，所以為平面的法向量.

因為 ,所以

由圖可知，二面角大于90º，

所以二面角的大小為.            ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一個法向量,

     又.

所以 .

因為直線與平面所成角為,

所以直線與平面所成角的正弦值為.               ………………14分

(18) 解：(Ⅰ)函數的定義域是．

函數的導數是.

令,即,解得,所以函數的遞增區間是;

令,即,解得,所以函數的遞減區間是.

                                                           ………………6分

 (Ⅱ)設，則切線的斜率，

則切線的方程是，

設切線與軸、軸的交點為、，

令，由題意可知，解得，所以；

令，解得，所以，

所以，

當且僅當，即時，△面積的最小值為2.

此時,點的坐標是．                           ………………13分

(可求導或用二次函數求得的最大值)

(19) 解：（Ⅰ）因為成等差數列，點的坐標分別為

所以且

由橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點長軸為4的橢圓（去掉長軸的端點），

所以．

故頂點的軌跡方程為．………………4分

（Ⅱ）由題意可知直線的斜率存在，設直線方程為．

由得

，

設兩點坐標分別為，

則，，

所以線段中點的坐標為,

故垂直平分線的方程為，

令，得與軸交點的橫坐標為，

由得，解得，

又因為，所以．

當時，有，此時函數遞減，

所以．所以，．

故直線與軸交點的橫坐標的范圍是．                  ………………13分

 (20) 解：（Ⅰ）已知式即，故．

因為，當然，所以．

由于，且，故．

于是 ，，

所以 ．                                     ………………4分

（Ⅱ）由，得，

故．

從而 ．

因此

．

設，

則，

故，

注意到，所以．

特別地，從而．

所以．                  ………………9分

（Ⅲ）易得．

注意到，則有，

即，  整理得 ．                     ①

當時，由① 得．

因為，所以．

當時，由① 得．        ②

因為，故②式右邊必是3的倍數，而左邊不是3的倍數，所以②式不成立，

即當時，不存在，使得①式成立．

綜上所述，存在正整數，使得

成立．………………14分