標號為的球各一個的概率；

   （2）若第一次從盒子里任取個球，放回后，第二次再任取個球，假設取出每個球的可

        能性都相同，記第一次與第二次取出球的標號之和為，求隨機變量的分布列和

        均值．

19．（本題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面

    ，，是的中點．

   （1）證明 //平面；         

   （2）求二面角的平面角的余弦值；

   （3）在棱上是否存在點，使平面？證明你的結論．

20．（本小題滿分12分）是首項的等比數列，且，，成等差數列，

   （1）求數列的通項公式；

   （2）若，設為數列的前項和，若對一切恒

        成立，求實數的最小值．

21．（本題滿分12分）已知函數，設．

   （1）求在內的最小值；

   （2）是否存在實數，使得函數的圖象與的圖象

        恰好有四個不同的交點？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由．

22．（本題滿分14分）已知雙曲線的兩個焦點為，為動點，若

    ．

   （1）求動點的軌跡的方程；

   （2）求的最小值；

   （3）設點，過點作直線交軌跡于兩點，判斷的

        大小是否為定值？并證明你的結論．

參 考 答 案

1．【解析】C ，故 ．

2．【解析】C ，．

3．【解析】B ．

4．【解析】B  ，

   可得，故，二項展開式的第三項等于

   ．

5．【解析】D 這個空間幾何體是一個圓臺被軸截面割出來的一半．根據圖中數據知道這個圓

   臺的上底面半徑是，下底面半徑是，高為，母線長是，其表面積是兩個半圓，

   圓臺側面積的一半，和一個軸截面的面積之和．故

   ．

6．【解析】 D 即，由正弦定理，故，又，

   故或，故或，

   因此的面積為或．

7．【解析】C  已知條件即，故．

8．【解析】B 輸入，輸出的是．

9．【解析】A  當為偶數時，對任意正偶數恒成立，只要；

   當為奇數時，對任意正奇數恒成立，只要．故

   ．答案Ａ．

10．【解析】B 在雙曲線中，在拋物線中這個距離等于其到準線的距離，故

    ，即，即，即．

11．【解析】C ，在中，

    ，，故得，解得或．

12．【解析】 B  ∵前排中間個座位不能坐，∴實際可坐的位置前排個，后排個．

   （1）兩人一個前排，一個后排，方法數為；（2）兩人均在后排，共種，還

    需排除兩個相鄰的情況，即；（3）兩人均在前排，又分兩類：（i）

    兩人一左一右，為，（ii）兩人同左或同右時，，綜上，不同排法

    的種數為．

13．【解析】 設扇形周長為，半徑為，則弧長，扇形的面積是

    ，等號當且僅當時成立，此時扇

    形的弧長為，故此時扇形的圓心角為弧度，點落在內的概率是

    ．

14．【解析】  如圖所示，該區域的面積是和曲

    邊梯形的面積之和，故所求區域的面積是

    ．

15．【解析】或．如圖，只有當直線與

    軸的交點在線段上，或是直線位于點及其上方時，

    區域才可能構成三角形，故或．

16．【解析】   由于

    推測當時，有

    所以

    ．

    又，所以．

17．【解析】（1）因為，所以，即，  （2分）

    即，即，即，（4分）

    所以．                   （ 6分）

   （2）由，由正弦定理得，

    ∴，

    ∴，

    ∵，∴，且，

    ∴，．              （ 9分）

    ∴，．因為 ．

    所以函數的取值范圍是．                              （12分）

18．【解析】（1）設從盒子里一次任取3個球，取出的三個球中標號為的球各一個的概

    率為,則=．                           （4分）

   （2）由題意可得，隨機變量的取值分別是．

              （10分）

    故隨機變量的分布列為

2

3

4

5

6

8

0．09

0．24

0．16

0．18

0．24

0．09

    　�。�12分）

19．【解析】（1）以為坐標原點，分別以射線所在直線為軸的正方向

    建立空間直角坐標系，設，則，，，

    ，，，． （2分）

設 是平面的一個法向量，

    則由  得，取得．

    ∵ ，，又平面，

    所以平面． （5分）

   （2）由（1）知是平面的一個法向量，又是平面

    的一個法向量． 

    設二面角的平面角為，由圖可知

    ∴

    故二面角的余弦值為． （8分）

   （3）∵∴（9分）

    假設棱上存在點，使平面，設，

    則，

    由得，

    ∴，此時， （11分）

    即在棱上存在點，，使得平面．（12分）

20．【解析】（1）當時，,不成等差數列       （1分）

    當時，  ，∴ ， 

    ∴，∴，   （4分）∴．   （5分）

   （2），  （6分）

    ，    （7分）

    ，（8分）

    ，∴，∴，  （10分）

    又，∴的最小值為．   （12分）

21．【解析】（1） ）， 則   ， （1分）

    因為, 所以當時，對恒成立，

    故在內單調遞減， 而在處連續 ， 所以

    ，（3分）

    當時，時，時，所以在內

    單調遞減，在內單調遞增，所以． （5分）

    綜上所述，當時，，當時，（6分）

   （2）若的圖象與的圖

    象恰有四個不同交點，  即有四個不同的根，

    亦即 有四個不同的根．（8分）

    令，

    則．

    當變化時的變化情況如下表：

的符號

的單調性

    由表格知：．（10分）

    畫出草圖和驗證可知，當時，

    與恰有四個不同的交點．

    當時，函數的圖象與的圖象恰好有

    四個不同的交點．    （12分）

22．【解析】（1）解：依題意雙曲線方程可化為則

    點的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程可設為由

    得則所求橢圓方程為，

    故動點的軌跡的方程為． （4分）

   （2）設,則由，可知

    在中（6分）

    又即

    當且僅當時等號成立．故的最小值為．   （8分）

   （3）當與軸重合時，構不成角，不合題意．

    當軸時，直線的方程為，代入解得、的坐標分別為

    、   而，∴，

    猜測為定值． （10分）

    證明：設直線的方程為，由  ，得

    ∴, (11分)

    ∴

    ∴ 為定值．(與點不重合) ．（14分）