例5一次函數與反比例函數在同一直角坐標系內的大致圖象是

         A                   B                  C                    D

【考點要求】本題考查一次函數與反比例函數在同一坐標系內圖象的判定．

【思路點撥】可假定一次函數圖象正確，逐一判斷出k的取值范圍，再結合反比例函數及一次函數的圖象看是否會出現矛盾，若出現矛盾則該選項錯誤，

【答案】選A．

【方法點撥】少數學生因未能掌握這類問題的解法以致舉棋不定，無從下手。突破方法：所有這類判斷圖象可能性的問題的解法相近，關鍵就是以每一個選項中的某個圖象所反映的字母系數符號判斷出來，然后再看與另一個圖象是否相符。

例6已知拋物線的部分圖象如圖3-2所示，若y＜0，則x的取值范圍是

A．－1＜x＜4              B．－1＜x＜3 

C．x＜－1或 x＞4         D．x＜－1或 x＞3

【考點要求】本題考查利用二次函數圖象解不等式．

【思路點撥】拋物線的圖象上，當y=0時，對應的是拋物線與x軸的交點，坐標分別為（－1，0）、（3，0）．當y＜0時所對應的是x軸下方的部分，對應的x在－1與3之間，所以x的取值范圍是－1＜x＜3  ，

【答案】選B．

【方法點撥】本題解題關鍵在于正確理解y＜0在圖象上反映出來的是對應x軸下面的部分，而這一段圖象對所應的自變量的取值范圍是－1至3，其中3根據拋物線的對稱軸以及拋物線與x軸左邊的交點坐標來確定的。

例7在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數的圖象與x軸的負半軸相交于點C，如圖3-3，點C的坐標為（0，－3），且BO＝CO

（1）       求這個二次函數的解析式；

（2）       設這個二次函數的圖象的頂點為M，求AM的長.

【考點要求】本題考查二次函數解析式的確定。

【思路點撥】由題目條件，可用待定系數法求解析式

（1），

，，

。

。

（2），

.

【答案】（1）；（2）。

【方法點撥】部分學生因為題目中沒有直接給出兩個點的坐標，因此在求待定系數時遇到困難。突破方法：由BO＝CO且點C的坐標為（0，－3）可推知點B的坐標為（3，0），然后代入求解。

例8小明在銀行存入一筆零花錢，已知這種儲蓄的年利率為n%．若設到期后的本息和（本金+利息）為y(元)，存入的時間為x（年），那么（1）下列那個圖像更能反映y與x之間的函數關系？從圖中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？

（2）根據（1）的圖象，求出y于x的函數關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍），并求出兩年后的本息和．

【考點要求】本題考查用函數圖象表示實際生活問題及根據圖象求解析式．

【思路點撥】（1）圖乙反映y與x之間的函數關系從圖中可以看出存入的本金是100元一年后的本息和是102.25元

（2）設y與x的關系式為：y=100 n%x+100

把（1，102.25）代入上式，得n=2.25

∴y=2.25x+100

當x=2時，y=2.25×2+100=104.5(元)

【答案】（1）圖乙，存入的本金是100元，一年后的本息和是102.25元。（2）兩年后的和是104.5元。

【方法點撥】在選擇圖象時，應抓住起始錢數為100元，然后隨著時間推移逐步增加，到1年時總錢數變為102.25元。確定好圖象后，根據圖象中的數據，利用待定系數法，容易求一次函數解析式。

例9一次函數y=x+b與反比例函數 圖像的交點為A(m，n)，且m，n(m<n)

是關于x的一元二次方程kx²+(2k-7)x+k+3的兩個不相等的實數根，其中k為非負整數，m，n為常數．

（1）求k的值；

（2）求A的坐標與一次函數解析式．

【考點要求】本題考查二次函數與一元二次方程之間的關系，拋物線與x軸的交點橫坐標是其對應的一元二次方程的兩個根．

【思路點撥】（1）由方程有兩個不相等的實數根，得：

△== ∴

又∵k為非負整數   ∴k=0，1

當k=0時，方程kx²+(2k-7)x+k+3=0不是一元二次方程，與題設矛盾

∴k=1

觀察圖①可以得出：直線＝1與直線y＝2x＋1的交點P的坐標（1，3）就是方程組的解，所以這個方程組的解為

在直角坐標系中，x≤1表示一個平面區域，即直線x＝1以及它左側的部分，如圖3-4中，圖②；y≤2x＋1也表示一個平面區域，即直線y＝2x＋1以及它下方的部分，如圖3-4中，圖③．

回答下列問題：

（1）在直角坐標系中，如圖3-5，用作圖象的方法求出方程組的解；

則是方程組的解．

（2）如陰影所示．

【答案】（1）；（2）如圖3-5所示。

【方法點撥】本題的難點是對題目條件所給信息的理解與運用。突破方法：結合圖形反復研讀，理解不等式與它所對應的直線的關系，并能在圖象中用陰影表示出來。運用這一知識求解不等式組時，也就是要找出各不等式所表示的陰影的公共部分。

例11如圖3-6，已知O為坐標原點，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的坐標

為（2,0）．

（1） 求點B的坐標；

（2） 若二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A、B、O三點，求此二次函數的解析式；

（3） 在（2）中的二次函數圖象的OB段（不包括點O、B）上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標；若不存在，請說明理由．

【考點要求】本題考查求二次函數解析式，并探索拋物線上點的存在性，培養學生分析問題，解決問題的綜合能力．

【思路點撥】（1） 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，則  OD=，BD=，∴ 點B的坐標為() ．

（2） 將A(2,0)、B()、O(0,0)三點的坐標代入y=ax²+bx+c，得

解方程組，有  a=，b=，c=0.

∴ 所求二次函數解析式是 y=x²+x.

（3） 設存在點C（x , x²+x）（其中0<x<)，使四邊形ABCO面積最大.

∵△OAB面積為定值，

∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大.

過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，則

S_△OBC= S_△OCF +S_△BCF==，

而 |CF|==，

∴ S_△OBC= .

∴ 當x=時，△OBC面積最大，最大面積為.

此時，點C坐標為()，四邊形ABCO的面積為.

【答案】（1）B；（2）y=x²+x；（3）存在點C坐標為()，此時四邊形ABCO的面積最大為。

【方法點撥】（1）解題方法較為靈活，容易解決。（2）因為已具備圖象上三點坐標，可直接設為一般式，代入三點求解；也可以設為兩根式，再代入點B坐標求解。（3）關鍵要抓住四邊形ABCO的面積由兩部分組成，其中△OAB面積為定值，因此要四邊形面積最大，問題轉化為判斷△OBC面積是否存在最大值。

●難點突破方法總結

函數在中考中占有很重要的地位，是中考必考內容之一。課改實驗區的函數綜合題其背景材料更加豐富，更加貼近生活，更加注重對解決問題的思維過程的考查，但其計算量和書寫量與非課改區相比，又有較大幅度的下降。在完成函數問題方面，要注重以下幾點。

1.正確理解和掌握各種函數的概念、圖象和性質，這是解決所有函數問題的基本前提。

2.應用函數性質解決相關問題時，要樹立數形結合思想，借助函數的圖象和性質，形象、直觀地解決有關不等式、最值、方程的解、以及圖形的位置關系等問題。

3.利用轉化思想，通過求點的坐標，來達到求線段長度；通過求線段的長度求點的坐標；通過一元二次方程根的判別式及根與系數的關系來解決拋物線與x軸交點問題。

4.探究性問題的解題思路沒有固定的模式和套路，解答相關問題時，可從以下幾個角度考慮：（1）特殊點法；（2）分類討論法；（3）類比猜測法等，最重要的還是要結合具體題目的特點進行分析，靈活選擇和運用適當的數學思想及解題技巧。

●拓展演練

1． 如果正比例函數及反比例函數圖象都經過點（-2，4），則正比例函數的解析式為              ，反比例函數的解析式為                  ．

2. 拋物線的頂點坐標是　　　　　　，對稱軸是　　　　　．

3．二次函數與軸有　　　　　個交點，交點坐標是           ．

4．已知是整數，且一次函數的圖象不過第二象限，則m=       .

5．直線y =與兩坐標軸圍成的三角形面積是                 .

6．試寫出圖象位于第二象限與第四象限的一個反比例函數解析式                .

7. 反比例函數的圖象經過點（2，－1），則k的值為             ．

8. 雙曲線和一次函數y＝ax＋b的圖象的兩個交點分別是A(－1，－4)，B(2，m)，則a＋2b＝____________．

10.在電壓一定的情況下，電流I（A）與電阻R（Ω）之間滿足如圖所示的反比例函數關系，則I關于R的函數表達式為                    ．

11. 直線y=kx+1一定經過點（    ）

A．（1，0）        B．（1，k）        C．（0，k）          D．（0，1）

12. 如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，若∠ADE=∠C，且AB=5，AC=4，AD=x，AE=y，則y與x的關系式是（    ）

   A．y=5x           B．y=x          C．y=x            D．y=x

13. y=(x－1)²＋2的對稱軸是直線　（　　

A．x=－1               B．x=1                C．y=－1               D．y=1

14. 如圖，△ABC和△DEF是兩個形狀大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，點B、C、E、F在同一直線上．現從點C、E重合的位置出發，讓△ABC在直線EF上向右作勻速運動，而△DEF的位置不動．設兩個三角形重合部分的面積為，運動的距離為．下面表示與的函數關系式的圖象大致是（    ）

15．點P（a，b）在第二象限，則點Q(a-１，b+1)在（    ）

A．第一象限      B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

16．下列函數中,自變量的取值范圍選取錯誤的是(    )

          A．中, 取全體實數        B．中, 取的實數

          C．中, 取的實數     D．中, 取的實數

17．當路程s一定時，速度v與時間t之間的函數關系是（　�。�

A．反比例函數     B．正比例函數   C．一次函數    D．二次函數

18．若二次函數，當x取時，函數值相等，則當x取時，函數值為（    ）

A．a+c             B．a－c           C．－c           D．c

19．拋物線的一部分如圖所示，該拋物線在軸右側部分與軸交點的坐標是

A．（，0）       B．（1，0）      C．（2，0）      D．（3，0）

20．拋物線的圖角如圖，則下列結論：①＞0；②；③＜0；④＜0.其中正確的結論是（      ）

A．①②            B．②③          C．②④         D．③④

21．某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的日銷售價（元）與產品的日銷售量（件）之間的關系如下表：

（元）

15

20

25

30

…

（件）

25

20

15

10

…

（1）在草稿紙上描點，觀察點的頒布，建立與的恰當函數模型．

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

22．如圖，在平面直角坐標系中，正方形AOCB的邊長為6，O為坐標原點，邊OC在x軸的正半軸上，邊OA在y軸的正半軸上，E是邊AB上的一點，直線EC交y軸于F，且S_△FAE∶S_{四邊形AOCE}＝1∶3．

（1） 求出點E的坐標；     

（2）求直線EC的函數解析式.

23．某廠從2001年起開始投入技術改進資金，經技術改進后，其產品的生產成本不斷降低，具體數據如下表：

年   度

2001

2002

2003

2004

投入技改資金z(萬元)

2.5

3

4

4.5

產品成本(萬元／件)

7.2

6

4.5

4

（1）請你認真分析表中數據，從你所學習過的一次函數、二次函數和反比例函數中確定哪種函數能表示其變化規律，說明確定是這種函數而不是其它函數的理由，并求出它的解析式；

（2）按照這種變化規律，若2005年已投人技改資金5萬元．

① 預計生產成本每件比2004年降低多少萬元?

② 如果打算在2005年把每件產品成本降低到3.2萬元，則還需投入技改資金多少萬元（結果精確到0.01萬元）?

24．已知函數

（1）求函數的最小值；

（2）給定坐標系中，畫出函數的圖象；

（3）設函數圖象與x軸的交點為A（x₁，0）、B（x₂，0），求的值．

25．某校的圍墻上端由一段段相同的凹曲拱形柵欄組成，如圖所示，其拱形圖形為拋物線的一部分，柵欄的跨徑AB間，按相同的間距0.2米用5根立柱加固，拱高OC為0.6米．

（1）以O為原點，OC所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，請根據以上的數據，求出拋物線y=ax²的解析式；

（2）計算一段柵欄所需立柱的總長度．（精確到0.1米）

26．如圖，用長為18 m的籬笆（虛線部分），兩面靠墻圍成矩形的苗圃.

（1）設矩形的一邊為（m），面積為(m²)，求關

于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）當為何值時，所圍苗圃的面積最大，最大面積是多少？

●習題答案

1． （提示：設正比例函數與反比例函數分別為，把點（-2，4）代入）

2.（－2，5），x=－2（提示：根據頂點式，頂點為，對稱軸為）

3．2，（－2，0）、（1，0）（提示：把y=0代入解析式得，解之得）

5．（提示：直線與x軸交點坐標為（－2，0），與y軸交點坐標為（0，－），所以圍成的三角形面積為）

6．（提示：答案不唯一，只需滿足k＜0）

7.－2（提示：由可得，把點（2，－1）代入即可）

8.－2（提示：把A（－1，－4）代入求得k=4，再把B（2，m）代入求得m=2，再把A（－1，－4），B（2，2）代入y＝ax＋b，可求得a=2，b=－2）

9. 1（提示：答案不唯一，只需滿足＜0即可）

10.（提示：設，把（2，3）代入，求得k=6）

11.D（提示：把各選項的坐標分別代入）

12.C（提示：根據題意，△AED∽△ABC，所以即，所以）

13. B（提示：根據頂點式，對稱軸為）

14. C（提示：由題意，y的變化規律為先由小變大，再由大變小，且拋物線的開口均向上）

15. B（提示：P（a，b）在第二象限，所以a＜0，b＞0，所以a-１＜0，b+1＞0，因此點Q(a-１，b+1)在第二象限）

16．D（提示：D項中分母不能為0，所以應取的x＞－3實數）

17．A（提示：由題意，當s一定時，速度v是時間t的反比例函數）

18．D（提示：二次函數對稱軸為y軸，當x取時函數值相等，所以關于對稱軸對稱，所以，把x=0代入解析式得y=c）

19．B（提示：由圖象可看出拋線對稱軸為x=－1，與x軸的一個交點為x=－3，則另一點與之關于x=－1對稱，為x=1，所以另一點為（1，0））

20．B（提示：由圖象可知＞0，＞0，＜0，所以＜0，所以＜0；又因為點（1，2）在拋物線上，把（1，2）代入解析式可得；由圖象可知，當x=－1時，對應的y在x軸下方，所以＜0；而拋物線與x軸有兩個交點，故＞0）

21．解：（1） 經觀察發現各點分布在一條直線上，∴設 （k≠0）

用待定系數法求得

（2）設日銷售利潤為z ，則=

當x=25時，z最大為225，

所以當每件產品的銷售價定為25元時，日銷售利潤最大為225元．

22．解：（1） ∵S_△FAE∶S_{四邊形AOCE}＝1∶3，      ∴S_△FAE∶S_△FOC＝1∶4，

∵四邊形AOCB是正方形，      ∴AB∥OC，     ∴△FAE∽△FOC，∴AE∶OC＝1∶2，  

∵OA＝OC＝6，   ∴AE＝3，  ∴點E的坐標是(3,6)

（2） 設直線EC的解析式是y＝kx＋b，

∵直線y＝kx＋b過E(3,6)和C(6，0)

∴，解得：

∴直線EC的解析式是y＝－2x＋12

23．解：（1）設其為一次函數，解析式為

當時，；  當=3時，6．

    解得，  ∴一次函數解析式為

把時，代人此函數解析式，左邊≠右邊．   ∴其不是一次函數．

同理．其也不是二次函數．    

設其為反比例函數．解析式為．  當時，，

可得       解得    ∴反比例函數是．

驗證：當=3時，，符合反比例函數．

同理可驗證4時，，時，成立．

可用反比例函數表示其變化規律．

（2）解：①當5萬元時，，．     （萬元），

∴生產成本每件比2004年降低0．4萬元．

②當時，．     ∴

∴（萬元）

∴還約需投入0.63萬元．

24．解：（1）∵，

∴當x=2時，.  

（2）如圖，圖象是一條開口向上的拋物線．

對稱軸為x=2,頂點為（2，-3）．

（3）由題意，x₁，x₂，是方程x²-4x+1=0的兩根，

∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1. 

∴

25．解：（1） 由已知：OC=0.6，AC=0.6，得點A的坐標為（0.6，0.6），

代入y=ax²，得a=，        ∴拋物線的解析式為y=x².

（2）點D₁，D₂的橫坐標分別為0.2，0.4，

 代入y=x²，得點D₁，D₂的縱坐標分別為：y₁=×0.2²≈0.07，y₂=×0.4²≈0.27，

 ∴立柱C₁D₁=0.6－0.07=0.53，C₂D₂=0.6－0.27=0.33，

由于拋物線關于y軸對稱，柵欄所需立柱的總長度為：

2（C₁D₁+ C₂D₂）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3米.

26．解：（1） 由已知，矩形的另一邊長為

則= =，自變量的取值范圍是0＜＜18.  

（2）∵  == 

∴ 當=9時（0＜9＜18)，苗圃的面積最大，最大面積是81      

又解:  ∵  =－1＜0，有最大值，        

∴  當 =時（0＜9＜18)， （） 

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