1、不定冠詞、定冠詞和零冠詞的基本用法

　 與　

是互素的合數．(這里與分別表示有限數集的所有元素之和及元素個數．)

證 我們用表示有限數集X中元素的算術平均．

第一步，我們證明，正整數的n元集合具有下述性質：對的任意兩個不同的非空子集A，B，有．

證明：對任意，，設正整數k滿足

　　　　　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　 ①

并設l是使的最小正整數．我們首先證明必有．

　 事實上，設是A中最大的數，則由，易知A中至多有個元素，即，故．又由的定義知，故由①知．特別地有．

此外，顯然，故由l的定義可知．于是我們有．

若，則；否則有，則

　　　　 ．

由于是A中最大元，故上式表明．結合即知．

現在，若有的兩個不同的非空子集A，B，使得，則由上述證明知，故，但這等式兩邊分別是A，B的元素和，利用易知必須A=B，矛盾．

第二步，設K是一個固定的正整數，，我們證明，對任何正整數x，正整數的n元集合具有下述性質：對的任意兩個不同的非空子集A，B，數與是兩個互素的整數．

事實上，由的定義易知，有的兩個子集，滿足，，且

　　　　　 ．　　　　　　 ②

顯然及都是整數，故由上式知與都是正整數．

現在設正整數d是與的一個公約數，則是d的倍數，故由②可知，但由K的選取及的構作可知，是小于K的非零整數，故它是的約數，從而．再結合及②可知d=1，故與互素．

第三步，我們證明，可選擇正整數x，使得中的數都是合數．由于素數有無窮多個，故可選擇n個互不相同且均大于K的素數．將中元素記為，則，且(對)，故由中國剩余定理可知，同余方程組

，

有正整數解．

　　 任取這樣一個解x，則相應的集合中每一項顯然都是合數．結合第二步的結果，這一n元集合滿足問題的全部要求．

解 當為奇數時，存在合乎要求的染法；當為偶數時，不存在所述的染法。

每3個頂點形成一個三角形，三角形的個數為個，而顏色的三三搭配也剛好有種，所以本題相當于要求不同的三角形對應于不同的顏色組合，即形成一一對應．

我們將多邊形的邊與對角線都稱為線段．對于每一種顏色，其余的顏色形成種搭配，所以每種顏色的線段(邊或對角線)都應出現在個三角形中，這表明在合乎要求的染法中，各種顏色的線段條數相等．所以每種顏色的線段都應當有條．

當為偶數時，不是整數，所以不可能存在合乎條件的染法．下設為奇數，我們來給出一種染法，并證明它滿足題中條件．自某個頂點開始，按順時針方向將凸邊形的各個頂點依次記為．對于，按理解頂點．再將種顏色分別記為顏色．

將邊染為顏色，其中．再對每個，都將線段(對角線)染為顏色，其中．于是每種顏色的線段都剛好有條．注意，在我們的染色方法之下，線段與同色，當且僅當

．　　 　　　　　　①

因此，對任何，任何，線段都不與同色．換言之，如果

．　　　　　　　　 ②

則線段都不與同色．

任取兩個三角形和，如果它們之間至多只有一條邊同色，當然它們不對應相同的顏色組合．如果它們之間有兩條邊分別同色，我們來證明第3條邊必不同顏色．為確定起見，不妨設與同色．

情形1：如果與也同色，則由①知

，　

，　

將二式相減，得，故由②知不與同色．

情形2：如果與也同色，則亦由①知

，　

，　

將二式相減，亦得，亦由②知與不同色．總之，與對應不同的顏色組合．　

解 不妨設，則對，有

，

所以　　　

　　　　　　　　 ．

當n為奇數時，　 ．

當n為偶數時，　

　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

所以，當n為奇數時，，當n為偶數時，，等號均在時成立．

因此，的最小值為(n為奇數)，或者(n為偶數)．

解 先證一個引理：頂點在P中的凸m邊形至多有兩個銳角，且有兩個銳角時，這兩個銳角必相鄰．

事實上，設這個凸邊形為，只考慮至少有一個銳角的情況，此時不妨設，則

，

更有．

而+，故其中至多一個為銳角，這就證明了引理．

由引理知，若凸邊形中恰有兩個內角是銳角，則它們對應的頂點相鄰．

在凸邊形中，設頂點與為兩個相鄰頂點，且在這兩個頂點處的內角均為銳角．設與的劣弧上包含了的條邊()，這樣的在固定時恰有對．

(1) 若凸邊形的其余個頂點全在劣弧上，而劣弧上有個中的點，此時這個頂點的取法數為．

(2) 若凸邊形的其余個頂點全在優弧上，取，的對徑點，，由于凸邊形在頂點，處的內角為銳角，所以，其余的個頂點全在劣弧上，而劣弧上恰有個中的點，此時這個頂點的取法數為．

所以，滿足題設的凸邊形的個數為

　　　　　　　　　　 ．

解：若，不妨設，則，故．

由Fermat小定理， ，得，即．易驗證素數對不合要求，，合乎要求．

若為奇數且，不妨設，則，故．

當時素數對合乎要求，當時，由Fermat小定理有，故．由于為奇素數，而626的奇素因子只有313，所以．經檢驗素數對合乎要求．

若都不等于2和5，則有，故

．　　　　　　　　 ①

由Fermat小定理，得　　　　 　，　　　　　　　　 ②

故由①，②得

．　　　　　　　　　 ③

設，， 其中為正整數．

若，則由②，③易知

，

這與矛盾！所以．

同理有，矛盾！即此時不存在合乎要求的．

綜上所述，所有滿足題目要求的素數對為

，，，，，及．

(1)若A，B，C，D四點共圓，求證：；

(2)若 ，是否一定有A，B，C，D四點共圓？證明你的結論．

解(1)設Q，R分別是OB，OC的中點，連接EQ，MQ，FR，MR，則

，

又OQMR是平行四邊形，所以

，

由題設A，B，C，D四點共圓，所以

，

于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 圖1

　　　　　　　 ，

所以　　　　 ，

故　　　　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　　 EM＝FM，

同理可得　　　　　　　　　 EN＝FN，

所以　　　　　　　　　 ．

(2)答案是否定的．

當AD∥BC時，由于，所以A，B，C，D四點不共圓，但此時仍然有，證明如下：

如圖2所示，設S，Q分別是OA，OB的中點，連接ES，EQ，MQ，NS，則

，

所以　　　　　　　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　 ①

又，所以

．　　　　　　　　　 　　　　②

而AD∥BC，所以

，　　　　　　　　　　　　　 ③

由①，②，③得　　　　　　 ．

因為　　　 ，

　　　 ，

即　　　　　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　　 -，

故　　　　　　　　　　 (由②)．

同理可得，　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　　　 ，

從而　　　　　　　　　 ．

18.讀“南極大陸及周圍地區圖”，回答下列問題。(18分)

(1)讀圖，填寫下列字母的所代表的大洲、大洋、島嶼和海峽的名稱：

大洋：A　　　　　　　　　　 ，B　　　　　　　　　　　 ，

C　　　　　　　　　　　　 。

大洲：D　　　　　　　　　　 ，F　　　　　　　　　　　　 ，

G　　　　　　　　　　　　　 。

島嶼：E　　　　　　　　　 ，海峽：H　　　　　　　　　　　 。

(2)Ⅰ處是我國南極考察站的兩個之一，在圖中用☆標注另一個考察站。如以Ⅰ點為起點，依次向東、向南、向

西、向北各走10千米，最后到達　　　　　　　　　　　　　 。

A.原地　　　　　　　　　 B.原地以東　　　　　　 C.原地以西　　　　　　 D.原地以北

(3)南極大陸周邊地區終年盛行強勁的極地東風，其運動方向是　　　　　　　　　　 。

答案　 (1)大西洋　 太平洋　 印度洋　 大洋洲　 南美洲

非洲　 新西蘭群島　 德雷克海峽

(2)作圖略(長城站在南極圈以外喬治王島) 　C

(3)逆時針輻散

17.(2007·江蘇地理)下圖為“1271-1295年馬可·波羅東行路線示意圖”。圖回答下列問題。(18分)

(1)馬可·波羅從威尼斯出發，東行途中經過A、B、C三地，其所屬的氣候類型分別是A　　　　　　　　　　　 ，

B　　　　　　　　 ，C　　　　　　　　　　　　 。其中A地的氣候特征是　　　　　 　　　　　　　　　　。

(2)馬可·波羅乘船返回途中，途經的D處為　　　　　　　　 海峽，E處位于　　　　　　　　　　　　　 板

塊和　　　　　　　　　　　　 板塊的交界處附近。

(3)途經的F處比E處的海水鹽度　　　　　　　 (高、低)，形成這種差異的主要原因是　　　　　　　　　 。

(4)本題為選做題，只可從A、B兩題中選做一題。

A題.馬可·波羅途經塔里木盆地西部邊緣的喀什時，得知當地“有美麗的花園、果園、葡萄園，棉花、亞麻產量

十分豐富”。請簡要分析當地棉花種植的有利自然條件。

B題.馬可·波羅往返途中都經過西亞地區。請簡要分析當今西亞地理位置的重要性。

答案　 (1)地中海氣候　 溫帶大陸性氣候　 溫帶季風氣候

夏季炎熱干燥 ，冬季溫和濕潤

(2)馬六甲　 亞歐　 印度洋

(3)高　 F處降水較少，蒸發旺盛

(4)A題.光照條件好；熱量充足；灌溉便利；地勢平坦。

B題.處于聯系亞、歐、非三大洲，溝通大西洋和印度洋的樞紐地位；是世界石油運輸的重要通道。

(2009·貴陽測試)讀“某大陸東南部地區示意圖及該地區氣候資料統計圖”，回答14-16題。

14.圖示甲河流域的農業地域類型是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.大牧場放牧業　　　　　　 B.混合農業　　　　　　 C.商品谷物農業　　　　 D.水稻種植業

答案　 B

15.甲河入�？诟浇�海域的表層海水，鹽度最低的時間為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.1月　　　　　　　　　　 B.4月　　　　　　　　　 C.7月　　　　　　　　　 D.10月

答案　 C

16.當北京的正午太陽高度達一年中最大時，乙城市　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 (　　 )

A.晝短夜長　　　　　　　　 B.高溫多雨　　　　　　 C.晝長夜短　　　　　　 D.寒冷干燥

答案　 A