2007年高考數學解讀
（一）命題指導思想
1.命題應依據教育部《普通高中數學課程標準（實驗）》和《2007年普通高等學校招生全國統一考試新課程標準數學科考試大綱》（待發），并結合我省普通高中數學教學實際，體現數學學科的性質和特點。
2.命題注重考查考生的數學基礎知識、基本技能和數學思想、數學方法、數學能力，體現知識與能力、過程與方法、情感態度與價值觀等目標要求。
3.命題既要實現平穩過渡，又要體現新課程理念。
4.注重試題的創新性、多樣性和選擇性，具有一定的探究性和開放性。
5.命題要堅持公正、公平原則。試題要切合我省中學數學教學實際，數學問題的難度、問題的情景等要符合考生的實際水平。應用題要“貼近生活，背景公平，控制難度”。
6.命題要注意必修內容和選修內容的有機聯系與適當差異，注重數學學科知識的內在聯系。
7.試卷要有較高的信度、效度和必要的區分度以及適當的難度，難度系數控制在0.55―0.65之內。
（二）知識和能力要求
1．知識要求
對知識的要求由低到高分為三個層次，依次是感知和了解、理解和掌握、靈活和綜合運用，且高一級的層次要求包括低一級的層次要求。
(1)感知和了解：要求對所學知識的含義有初步的了解和感性的認識，知道這一知識內容是什么，并能在有關的問題中識別、模仿、描述它。
(2)理解和掌握：要求對所學知識內容有較為深刻的理論認識，能夠準確地刻畫或解釋、舉例說明、簡單變形、推導或證明、抽象歸納，并能利用相關知識解決有關問題。
(3)靈活和綜合運用：要求系統地掌握知識的內在聯系，能靈活運用所學知識分析和解決較為復雜的或綜合性的數學現象與數學問題。
2．能力要求
能力主要指運算求解能力、數據處理能力、空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力以及實踐能力和創新意識。
(1)運算求解能力：會根據法則、公式進行正確運算、變形；能根據問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑。
(2)數據處理能力：會收集、整理、分析數據，能抽取對研究問題有用的信息，并作出正確的判斷；能根據要求對數據進行估計和近似計算。
(3)空間想象能力：會畫簡單的幾何圖形；能準確地分析圖形中有關量的相互關系；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質。
(4)抽象概括能力：能從具體、生動的實例中，發現研究對象的本質；能從給定的大量信息材料中，概括出一些結論，并能應用于解決問題或作出新的判斷。
(5)推理論證能力：會根據已知的事實和已獲得的正確數學命題來論證某一數學命題真實性。
(6)實踐能力：能夠對問題所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型；能應用相關的數學方法解決問題，并能用數學語言正確地表述、說明。
(7)創新意識：能夠獨立思考，靈活和綜合地運用所學數學的知識、思想和方法，提出問題、分析問題和解決問題。
（三）考試范圍及要求
1.考試范圍
（1）文科
《普通高中數學課程標準（實驗）》中的必修課程內容和選修系列1內容。
數學1：集合、函數概念與基本初等函數I（指數函數、對數函數、冪函數）。
數學2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
數學3：算法初步、統計、概率。
數學4：基本初等函數II（三角函數）、平面上的向量、三角恒等變換。
數學5：解三角形、數列、不等式。
選修1－1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。
選修1－2：統計案例、推理與證明、數系的擴充及復數的引入、框圖。
（2）理科
《普通高中數學課程標準（實驗）》中的必修課程內容和選修系列2內容。
數學1：集合、函數概念與基本初等函數I（指數函數、對數函數、冪函數）。
數學2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
數學3：算法初步、統計、概率。
數學4：基本初等函數II（三角函數）、平面上的向量、三角恒等變換。
數學5：解三角形、數列、不等式。
選修2－1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量（簡稱空間向量）與立體幾何。
選修2－2：導數及其應用、推理與證明、數系的擴充與復數的引入。
選修2－3：計數原理、統計案例、概率。
2.具體考試內容及其要求（略）
（四）考試形式與試卷結構
1.考試形式
考試采用閉卷、筆試形式。試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘�？荚嚥辉试S使用計算器。
2.試卷結構
試卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。試題分選擇題、填空題和解答題三種題型。
第Ⅰ卷以單項選擇題題型呈現，主要考查必修內容中的基本知識和基本技能，共12題，分值為60分。
第Ⅱ卷以填空題和解答題題型出現，主要考查數學的思想、方法和能力，必修內容和選修內容都在考查之列。填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程，填空題共4題，分值為16分。解答題包括計算題、證明題和應用題等，解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程，解答題共6題，分值為74分。
試卷包括容易題、中等難度題和難題，以中等難度題為主。
（五）題型示例
1.選擇題
（1）設
、
為兩個非空實數集合，定義集合
，則
中元素的個數是
A．9 B．8 C．7 D．6
本小題主要考查集合概念的理解，以及對知識的遷移能力，對基本知識的掌握要準確、牢固.
解答：B
（2）某初級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現要利用抽樣方法抽取10人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統一編號為1，2，…，270；使用系統抽樣時，將學生統一隨機編號1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況：
（3）已知向量
，向量
,則
的最大值是
A．
B．4
C．12
D．1
本小題主要考查向量與三角結合的基本運算，考察運算能力。試題給出兩個向量的坐標，要求考生會利用向量的坐標運算、三角函數的恒等變換，用多種方法確定向量的模的最大值.考察的重點是學生對向量的概念、向量的運算、向量的模的性質的理解與應用，方法較多，考查較靈活.
解法1：
∵
,
，
解法2： ∵
∴
∴
，
∴
.
4.在
這四個函數中，當
時，使
恒成立的函數的個數是
A．0 B．1 C．2 D．3
本小題主要考查函數的凹凸性，試題給出了四個基本初等函數，要求考生根據函數的圖像研究函數的性質---凹凸性，對試題中的不等關系式：
，既可以利用函數的圖像直觀的認識，也可以通過代數式的不等關系來理解�？疾榈闹攸c是結合函數的圖像準確理解凹凸的含義.
解答：B
2.填空題
（1）已知實數
滿足等式
，寫出
滿足條件的一個關系式 .(注:填上你認為可以成為真命題的一種情形即可,不必考慮所有可能的情形)
本小題主要考查指數式、指對互化以及分類討論數學思想方法.此題是一個開放性問題，該類問題有助于考察學生的發散思維和創造意識.
解答：①
②
③
,等.
（2）求滿足
的最大整數解的程序框圖A處應為
.
 |
本小題主要考查程序框圖的知識和分析問題、解決問題的邏輯思維能力，試題給出了滿足題目條件的框圖，在給定框圖結構的前提條件下，要求考生會讀框圖、理解框圖，并根據流程，寫出最后輸出框中的內容.考查的重點是學生對程序框圖的認識，利用框圖流程，不難寫出最后的輸出結果.該題所涉及內容為新課程新增內容，體現了數學課程與時俱進，反映了計算機科學發展對數學課程的影響，關注此類問題既考察學生對算法思想的了解和掌握，同時還有助于培養學生學習科學技術的興趣.
解答：
（3）已知兩個圓：
①與
②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓
和
的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題應成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為 .
本小題主要考查圓的方程、圓的公共弦方程的概念，考查抽象思維能力和歸納推廣的能力.
解答：
（4）已知
是不同的直線，
是不重合的平面，給出下列命題：
①若
則
;
②若
則
;
③若
，則;
④
是兩條異面直線，若
，則
.
上面的命題中，真命題的序號是
（寫出所有真命題的序號）.
本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，考查邏輯推理和空間想象能力.
解答：③④
3.解答題
（1）已知函數
，證明：
①經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行與
軸；②這個函數的圖象關于直線
成軸對稱圖形.
本小題主要考查函數圖象的性質、平行直線和對稱圖形以及推理論證能力.
證明：①設
是函數圖象上任意不同的兩個點，則
，且
.
即
，所以直線
不平行于
軸.
②設
是函數圖象上的任意一個點,則
,
且
.
…………（＊）
所以,
,否則有
,得
,這是不可能的.因此
;由（＊）式得:
此式表示:點
關于直線
的對稱點
在函數圖象上,由于
的任意性,知函數的圖象關于直線
成軸對稱圖形.
（2）有一批影碟機（VCD）原價為每臺800元，在甲乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用如下的方法促銷:買一臺單價為780元,買兩臺每臺單價都為760元,依次類推,每多一臺則所買各臺單價均再減少20元,但每臺最低不能低于440元;乙商場一律都按原價的75%銷售.某單位需購買一批此類影碟機,問去哪家商場購買花費較少?
本小題是實際問題，考查的目標是要求考生應用數學知識作出分析，給出合理的判斷，考查學生應用數學知識分析問題和解決問題的能力，本題的實際背景是商品銷售問題，對考生比較公平，與生活相關性也比較高.本題考查的知識點是分段函數和不等式.
解:設某單位需要購買
臺影碟機,甲乙兩商場的購貨款的差價為
,
則因為去甲商場購買共花費
,據題意,
去乙商場購買共花費
,
.
得
故若買少于10臺,去乙商場購買花費較少; 若買10臺,去甲、乙商場購買花費一樣；若買超過10臺,去甲商場購買花費較少.
（3）某地現有耕地10000公頃，規劃10年后糧食單產比現在增加22％，人均糧食占有量比現在提高10％.如果人口年增長率為1％，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？
（糧食單產＝總產量/耕地面積，人均糧食占有量＝總產量/總人口數）
本小題的背景是人口增長和耕地流失的控制問題，這是當前國情教育中的一個十分突出的問題.通過解決此類問題有助于增強學生的社會責任感和土地保護意識。該題考查的是數列知識，還把利用二項式定理進行近似計算的考查揉合其中，比較新穎.
解：設耕地平均每年至多減少
公頃，現有人口
人，糧食單產
噸/公頃，依題意得：
得
所以
答：耕地平均每年至多減少4公頃.
（4）如圖，在底面是菱形的四棱錐
中，
，
，
,點
在
上，且
.
（I）證明
平面
；
（II）求以
為棱，
與
為面的二面角
的大小；
（Ⅲ）在棱
上是否存在一點
，使
平面
？證明你的結論.
本小題主要考查了棱錐、直線與平面垂直的判定與性質，二面角及二面角的平面角、直線與平面平行的判定和性質，同時考查了利用空間向量解決立體幾何問題的轉換能力、一定的計算能力以及邏輯推理能力.
第3問在設問上有一定開放性，這對空間觀念的要求，對空間圖形轉換要求，在水平層次上就有較大的提高，切入點是從特殊點開始進行探究.
此題可用空間向量法解決，關鍵是能合理的構建空間坐標系.
總之，本題在解決方法上利用向量手段解決幾何問題，很好地體現了數學的和諧美。同時，空間向量在立體幾何中的應用為考生創造了幾何證明的新思路，體現了解決問題策略的多樣化。另外，本題通過開放性問題的設計，給學生留出了較大的思維空間，為學生靈活運用所學知識解決問題建立了一個平臺.
|
， 
中，由
知
.
，所以
交
于
，
平面
于
，連結
，
，
即為二面角
知
的中點.
、
，設
，
為
. ②
平面
平面
，所以
平面
為坐標原點，直線
分別為
軸、
軸，過
的直線為
軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設條件，相關各點的坐標分別為
又
于
的發向量為
得
又平面
則
令 
得
即 
時，
、
、
共面.
平面
，從而
的方程為
，
的的點
的軌跡方程
；
作弦
，當弦
平分時，求直線
的左、右焦點分別為
與雙曲線
，且
（其中
的取值范圍.
,由橢圓的方程可知
的坐標分別為（-
，
）、（
,直線
的斜率為-1，
,
，則
再由
得
.
與雙曲線交于不同的兩點得
① 設
，則
②
的取值范圍為