1、θ取一切實數時，連接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ， 6sinθ)兩點的線段的中點為M，求點M的軌跡．

簡答：軌跡為焦點在y軸上的橢圓。

2、已知平面上一個定點C（－1，0）和一條定直線L：x=－4，P為該平面上一動點，作

PQ⊥L，垂足為，（1）求點P的軌跡方程；（2）求 的取值范圍．

解：（Ⅰ）由，     2分

設P（x，y），得，，

∴ 點P的軌跡方程為．                3分

（Ⅱ）設P（x，y），，      

   2分

由，故有                         3分

內  容

要  求

A

B

C

2．空間向

量與立體幾何

空間向量的有關概念

√

空間向量共線、共面的充分必要條件

√

空間向量的線性運算

√

空間向量的坐標表示

√

空間向量的數量積

√

空間向量的共線與垂直

√

直線的方向向量與平面的法向量

√

空間向量的應用

√

1．（本小題滿分12分） 如圖，已知直二面角，， ，，，，直線和平面所成的角為．

（I）證明；

（II）求二面角的所成角的余弦值．

（Ⅲ）在線段AC上是否存在一點M使得直線BM與平面所成角為。

證明：

（1）因為，，，所以，

又因為，所以．

而，所以，

，，          ……………………………4分

（2）為原點，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）．因為，所以是和平面所成的角，則．

不妨設，則，．

在中，，

所以．

則相關各點的坐標分別是

，，，，OA=（0，，0）

所以，．=（，0,1）………6分

設是平面的一個法向量，由得

取，得．                                ………8分

易知是平面的一個法向量．                   ………10分

設二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．故二面角B-AC-P所成角的余弦值為

2．如圖，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁，A₁A的中點，

（1）求                         

    （2）求

    （3）（14分）

解：（1）以射線建立坐標系，       ……1分

則B（0，1，0）

                           ……4分

                     ……7分

……10分

3、右圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，

截面為．已知，，，，．

（1）設點是的中點，證明：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求此幾何體的體積．

解法一：

（1）證明：作交于，連．

則．

因為是的中點，

所以．

則是平行四邊形，因此有．

平面且平面，

則面．

（2）如圖，過作截面面，分別交，于，．

作于，連．

因為面，所以，則平面．

又因為，，．

所以，根據三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因為，所以，故，

即：所求二面角的大小為．

（3）因為，所以

．

．

所求幾何體體積為

．

解法二：

（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，

則，，，因為是的中點，所以，

．

易知，是平面的一個法向量．

因為，平面，所以平面．

（2），，

設是平面的一個法向量，則

則，得：

取，．

顯然，為平面的一個法向量．

則，結合圖形可知所求二面角為銳角．

所以二面角的大小是．

4（10分）、如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側棱底面，，，，  為的中點.

   （Ⅰ）求直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）在側面內找一點，使面，

并求出點到和的距離.

解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則的坐標為、

、、、

、，

從而

設的夾角為，則

∴與所成角的余弦值為.

   （Ⅱ）由于點在側面內，故可設點坐標為，則

，由面可得，

  ∴

即點的坐標為，從而點到和的距離分別為.

三、導數與應用

內  容

要  求

A

B

C

3．導數及其應用

簡單的復合函數的導數

√

定積分

√

1．（本小題滿分8分）求曲線及直線所圍封閉區域的面積．

解方程組，得或，

∴面積22、已知，求的值，使

2、如圖，過點A(6，4)作曲線的切線l．

    （1）求切線l的方程；

    （2）求切線l，x軸及曲線所圍成的封閉圖形的面積S．

2、解：（1）∵，∴，∴切線l的方程為：，即材．

       （2）令=0，則x=2．令=0，則x= -2。

    ∴A===．

內  容

要  求

A

B

C

4．推理與證明

數學歸納法的原理

√

數學歸納法的簡單應用

√

1．已知數列滿足，且（）

（1）求的值

（2）由（1）猜想的通項公式，并給出證明。

解：（1）由得，

求得                               ……3分

（2）猜想                                     ……5分

證明：①當n=1時，猜想成立。                            ……6分

②設當n=k時時，猜想成立，即，      ……7分

則當n=k+1時，有，

所以當n=k+1時猜想也成立                                ……9分

③綜合①②，猜想對任何都成立。                  ……10分

2、已知數列

（1）求；（2）證明．

解：（1）    4分

方法一 用數學歸納法證明：

1°當n=0時，   ∴，命題正確．

2°假設n=k時有

   則

而

又  ∴時命題正確．

由1°、2°知，對一切n∈N時有        6分

方法二：用數學歸納法證明：

       1°當n=0時，∴；

    2°假設n=k時有成立，

       令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設

有：即

也即當n=k+1時  成立，所以對一切。  6分  

五、計數原理

內  容

要  求

A

B

C

5．計數原理

分類加法計數原理、分步乘法計數原理

√

排列與組合

√

二項式定理

√

1．已知的展開式中含xⁿ項的系數相等，求實數m的取值范圍.

解：設的展開式為T_r＋1，則T_r＋1＝，令2n＋1－r＝n

得r＝n＋1，所以xⁿ的系數為．                                     5分

由＝，得m＝是關于n的減函數，∵n∈N^＋，∴

所以的取值范圍是     

六、概率統計

內  容

要  求

A

B

C

6．概率統計

離散型隨機變量及其分布列

√

超幾何分布

√

條件概率及相互獨立事件

√

次獨立重復試驗的模型及二項分布

√

離散型隨機變量的均值和方差

√

1.（本小題滿分12分）假定某射手每次射擊命中的概率為 ，且只有3發子彈。該射手一旦射中目標，就停止射擊，否則就一直獨立地射擊到子彈用完。設耗用子彈數為X，求：

（Ⅰ）目標被擊中的概率；

（Ⅱ）X的概率分布；
（Ⅲ）均值E(X)

解：①第一次擊中

第二次擊中

第三次擊中……………………………………………………………6分

②

1

2

3

2．（本小題滿分12分）假定某射手每次射擊命中的概率為，且只有發子彈．該射手一旦射中目標，就停止射擊，否則就一直獨立地射擊到子彈用完．設耗用子彈數為，求：

⑴目標被擊中的概率；

⑵的概率分布；

⑶均值．

解：⑴目標被擊中的概率為；

⑵的分布列為

（）

⑶均值．

3．某地機動車駕照考試規定：每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會，某次考試通過，便可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，假若他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內李明參加駕照考試次數X的分布列和X的期望，并求李明在一年內領到駕照的概率．

解：X的取值分別為1，2，3，4.

    X＝1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P（X＝1）＝0.6.

    X＝2，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故P（X＝2）＝(1－0.6) ×0.7＝0.28

    X＝3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故

P（X＝3）＝(1－0.6) (1－0.7)×0.8＝0.096

X＝4表明李明第一、二、三次考試都未通過，故P（X＝4）＝(1－0.6) (1－0.7) (1－0.8)＝0.024

∴李明實際參加考試次數ξ的分布列為

ξ

1

2

3

4

P

0.6

0.28

0.096

0.024

∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.

李明在一年內領到駕照的概率為  1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.

4、某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經過兩次燒制，當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據該廠現有的技術水平，經過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為，，，經過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為，，．

（1）求第一次燒制后恰有一件產品合格的概率；

（2）經過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數為，求隨機變量的期望．

解：分別記甲、乙、丙經第一次燒制后合格為事件，，，

（1）設表示第一次燒制后恰好有一件合格，則

．

（2）解法一：因為每件工藝品經過兩次燒制后合格的概率均為，

所以，

故．

解法二：分別記甲、乙、丙經過兩次燒制后合格為事件，則

，

所以，

，

，

．

于是，

5、在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5發子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是.，每次命中與否互相獨立.

  (1) 求油罐被引爆的概率.

  (2) 如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ，求ξ的分布列及ξ的數學期望

解：（1）“油罐被引爆”的事件為事件A，其對立事件為，則P()=C

∴P(A)=1-         答：油罐被引爆的概率為

（2）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5，  

       P(ξ=2)=，   P(ξ=3)=C     ，

P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C

ξ

2

3

4

5

        故ξ的分布列為：

Eξ=2×+3×+4×+5×=.

6、在一個盒子中，放有標號分別為，，的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為、，記．

（1）求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（2）求隨機變量的分布列和數學期望．

解：（1）、可能的取值為、、，

  ，，

，且當或時，．      

因此，隨機變量的最大值為．

有放回抽兩張卡片的所有情況有種，

．                             

答：隨機變量的最大值為，事件“取得最大值”的概率為．

（2）的所有取值為．

時，只有這一種情況，

 時，有或或或四種情況，

時，有或兩種情況．

，，．         

則隨機變量的分布列為：

因此，數學期望．

7、學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現從中選2人．設為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數，且．

(I) 求文娛隊的人數；

(II) 寫出的概率分布列并計算．

解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數是

（7-2 x）人．

 (I)∵，

∴．……………………………………3分

即．

∴．

∴x=2．           ……………………………………5分

故文娛隊共有5人．……………………………………7分

(II) 的概率分布列為

0

1

2

P

，……………………………………9分

，……………………………………11分

∴ =1．   …………………………14分

七、矩陣與變換

內  容

要  求

A

B

C

8．矩陣與變換

矩陣的有關概念

√

二階矩陣與平面向量

√

常見的平面變換

√

矩陣的復合與矩陣的乘法

√

二階逆矩陣

√

二階矩陣的特征值和特征向量

√

二階矩陣的簡單應用

√

1.求出矩陣A=  的特征值和特征向量。

.矩陣A的特征多項式為

…………………………3分

令得A的特征值為1或－1

將1代入二元一次方程組

解得：

令且

于是矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量為…………………………………………6分

同理可得矩陣A的屬于特征值－1的一個特征向量為…………………………………8分

2．已知，，求二階方陣，使.

解：設，按題意有  ……2分

根據矩陣乘法法則有                            ……6分

解之得                                              ……8分

∴                                            ……10分

3．（本小題滿分10分）設是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到倍，縱坐標伸長到倍的伸壓變換．

（1）求矩陣的特征值及相應的特征向量；

（2）求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．

4．（1）由條件得矩陣，

它的特征值為和，對應的特征向量為及；

（2），

橢圓在的作用下的新曲線的方程為．

5．已知變換A：平面上的點P（2，－1）、Q（－1，2）分別變換成點P₁（3，－4）、

Q₁（0，5）

（1）求變換矩陣A；

（2）判斷變換A是否可逆，如果可逆，求矩陣A的逆矩陣A^－1；如不可逆，說明理由．

（1）解：假設所求的變換矩陣A=，依題意，可得

     及

即  解得所以所求的變換矩陣。    6分                    

（2）                                             4分

6、已知矩陣，其中，若點P（1,1）在矩陣A的變換下得到點，

（1）求實數a的值；    （2）求矩陣A的特征值及特征向量

解：（1）由  =，得

（2）由（1）知  ，則矩陣A的特征多項式為

令，得矩陣A的特征值為-1或3

當時 二元一次方程

∴矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量為

    當時，二元一次方程

∴矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為

7、在直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標為A（0，0）、B（1，1）、C（0，2），

求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積

這里M=  N=  

解：在矩陣N=  的作用下，一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉得到的圖形，在矩陣M=  的作用下，一個圖形變換為與之關于直線對稱的圖形。因此

△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全等，從而其面積等于△ABC的面積，即為1

八、坐標系與參數方程

內  容

要  求

A

B

C

9．坐標系與參數方程

坐標系的有關概念

√

簡單圖形的極坐標方程

√

極坐標方程與直角坐標方程的互化

√

直線、圓和橢圓的參數方程

√

參數方程與普通方程的互化

√

參數方程的簡單應用

√

1.（本小題滿分8分）求直線 （）被曲線所截的弦長。

解：把化為普通方程為，             ……3分

把化為直角坐標系中的方程為，……6分

∴圓心到直線的距離為，                                      ……8分

∴弦長為．                                      ……10分

由

得直線方程為…………………………………………3分

∴

………………………………………………………6分

即

圓心到直線的距離

∴弦長＝

　　　＝…………………………………………………………8分

2．已知某圓的極坐標方程為：ρ² －4ρcos(θ－)＋6=0．

（1）將極坐標方程化為普通方程；并選擇恰當的參數寫出它的參數方程；

（2）若點P(x，y)在該圓上，求x＋y的最大值和最小值．

解：（1）x²＋y²－4x－4y＋6＝0；                    6分

（2）x＋y＝4＋2sin（）  最大值6，最小值2                   4分

3、在極坐標系中，設圓上的點到直線的距離為d，求d的最大值；

簡答：d的最大值為7。

4、⊙和⊙的極坐標方程分別為．

（1）把⊙和⊙的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）求經過⊙和⊙交點的直線的直角坐標方程．

解：以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．

（1），，由得．

所以．

即為⊙的直角坐標方程．

同理為⊙的直角坐標方程．

（2）由解得．

即⊙，⊙交于點和．過交點的直線的直角坐標方程為．