學科網已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3且的夾角為，

   （Ⅰ）求的取值范圍；

   （Ⅱ）求的最小值。

解：（Ⅰ）由題意知

的夾角

（Ⅱ）

有最小值。

的最小值是.

（18)(本小題滿分12分)

學科網設函數是從1，2，3三個數中任取一個數，b是從2，3，4，5四個數中任取一個數，求恒成立的概率。

解：

…………………………2分

…………………………4分

于是成立�！�…………………6分

設事件A：“恒成立”，則

基本事件總數為12個，即

（1，2），（1，3），（1，3），（1，5）；

（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；

（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；…………………………8分

事件A包含事件：（1，2），（1，3）；

（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；

（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10個……………………10分

由古典概型得……………………12分

學科(19)(本小題滿分12分)如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點．

（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

（3）如果AB=1，一個點從F出發在正方體的表面上依次經過棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的點，又回到F，指出整個線路的最小值并說明理由.

（1）證明:連結BD.

在長方體中，對角線.

又 E、F為棱AD、AB的中點，

 .

 .               

又B₁D₁平面，平面，

  EF∥平面CB₁D₁.      …………4分

（2） 在長方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面    A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.                 

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．…………8分

（3）最小值為

如圖，將正方體六個面展開，從圖中F到F，兩點之間線段最短，而且依次經過棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中點，所求的最小值為 .…………12分

(20)(本小題滿分12分)

設橢圓C：的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：

相切，求橢圓C的方程.

解:⑴設Q（x₀，0），由F（-c，0）

A（0，b）知

設，

得…2分

因為點P在橢圓上，所以…………4分

整理得2b²=3ac，即2(a²－c²)=3ac，,故橢圓的離心率e=………6分

⑵由⑴知，………………………………7分

……………………………………………………9分

于是F（－a，0） Q，

△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a……………………11分

所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為……12分

(21)(本小題滿分12分)

以數列的任意相鄰兩項為坐標的點均在一次函數的圖象上，數列滿足條件：，

⑴求證：數列是等比數列；

⑵設數列、的前項和分別為、，若，，求的值．

解：⑴由條件得   顯然                         ………………1 分

（若，則，那么點P_n在一次函數的圖象上，與條件不符）

∵為常數，          ………………3分

∴所以數列是公比為2的等比數列                           ………………5分

⑵由⑴得：，           ………………7分

∴                    ………………8分

∵，

∴

…10分

∴　　

由得代入得                  ………………12分

(22)(本小題滿分14分)

已知函數.

（Ｉ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若曲線上兩點A、B處的切線都與軸垂直，且線段AB與軸有公共點，求實數的取值范圍.

解：（Ⅰ）由題設知.

令.

當（i）a>0時，

在和上是增函數；在上是減函數；

（i i）當a＜0時，

在上是增函數；在和上是減函數；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設知，曲線上的兩點A、B的縱坐標為函數的極值，且函數在處分別是取得極值，.

因為線段AB與x軸有公共點，所以.

即.所以.

故.

解得�。�1≤a＜0或3≤a≤4.

即所求實數a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].