1、探究二次函數與對應的一元二次方程之間的關系：

⑴求出方程x²-x-2=0的根（2和-1）；⑵畫出函數y=x²-x-2的圖象

發現并歸納：一元二次方程x²-x-2=0的兩個實數根就是二次函數y=x²-x-2的圖象和x軸交點的橫坐標，也是二次函數y=x²-x-2的函數值等于0時的自變量x的值

2、零點的定義：方程f(x)=0的實數根的個數又叫函數y=f(x)的零點。這個方程f(x)=0叫做函數y=f(x)所確定的方程。

3、函數y=x²-x-2可以表示成什么形式：⑴y= x²-x-2（一般式）；⑵y=(x-2)(x+1)兩點式或零點式；⑶y=(x-1)²-3（頂點式）一般情況下，二次函數解析式也有三種表達方式：一般式f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，兩點式或零點式f(x)=a(x-x₁)(x-x₂),頂點式f(x)=a(x-h)²+k

4、一般的情況，一元二次函數y=ax²+bx+c與一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情況如何？

△=b²-4ac

△>0

△=0

△<0

ax²+bx+c=0的根

x_1,2=

x₁=x₂=-

方程沒有實數根

y=ax²+bx+c(a>0)的圖象及頂點h的函數值與0的大小關系

f(h)<0

f(h)=0

f(h)>0

y=ax²+bx+c（a<0）的圖象及頂點h的函數值與0的大小關系

f(h)>0

f(h)=0

f(h)<0

頂點h函數值的與0的大小關系

af(h)<0

af(h)=0

af(h)>0

例1、求證方程x²+6x+4=0有兩個不等的實數根（教材P76―2）

證明：[方法一]△=36-16>0,所以方程有兩個不等的實數根

[方法二]設f(x)= x²+6x+4,在頂點的函數值f(-3)=-5<0所以方程有兩個不等的實數根

說明：判斷一元二次方程解的個數問題，如果x無條件限制，可以用判別式法（體現等價轉化），也可以用圖象法（看頂點的函數值----體現數形結合）

例2、（教材P75----例2）一個二次函數y=f(x)的圖象如圖⑴求出這個二次函數的零點；⑵寫出它的解析式；⑶分別指出f(-4)f(-1),f(0)f(2)與0的大小關系。

解：⑴兩個零點為-3和1；

⑵設f(x)=a(x+3)(x-1),由f(-1)=4得a=-1,故f(x)=- (x+3)(x-1)=-x²-2x+3

⑶f(-4)=-5,f(-1)=4,f(0)=3,f(2)=-5,故f(-4)f(-1)=-20<0,f(0)f(2)=-15<0

說明：一元二次函數y=f(x)對于實數m,n,m<n, f(m)f(n)<0,則f(x)在(m,n)之間有且僅有一個零點

練習：教材P76----3,4

例3、若方程x²+2mx+3=0兩個根均小于0，求實數m 的范圍。兩個都小于-1的根呢？

解：⑴[方法一]設兩根為x₁,x₂，則有

，解得m≥

[方法二]設f(x)= x²+2mx+3,作出其圖象有：0點函數值大于0，對稱軸在原點左側，于是，解得m≥

⑵[方法一]將⑴方法一中的x₁,x₂分別換成x₁+1,x₂+1其余不變，有 x₁+1+x₂+1=-2m+2

<0, (x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+(x₁+x₂)+1=3-2m+1>0,結果≤m<2

    [方法二] 將⑴方法二中的f(0)換成f(-1)>0,對稱軸在-1左側有-m<-1, 結果≤m<2

說明1：方法一是等價轉化，方法二為數形結合。一般不去解出方程再解不等式，而且隨著數據的增多，用數形結合更方便。

練習：方程-4×2^x+9+a=0有兩個不等實數根，求實數a的取值范圍（解：設2^x=t>0,關于t的方程t²-4t+9+a=0有兩個不等的正實數根，結果(-9,-7)）

補充作業

1、一個二次函數f(x)=ax²+bx+10

(1)有兩個零點5和1，則a=_________,b=___________

(2)c存在一正一負兩個零點的條件是__________

(3)若f(x₁)=f(x₂),(x₁≠x₂),則f(x₁+x₂)=__________

2、已知函數f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b)的零點為α、β，則a,b,α,β從小到大用小于號相連的順序是__________________

3、方程x²-ax+a²-7=0,填滿足下列條件的實數a的范圍。⑴有兩個負根______________;⑵有兩個大于1的實數根__________;⑶有一個大于2另一個小于2的實數根__________

4、函數f(x)=-x²-2ax(0≤x≤1)的最大值為a²,求實數a的范圍

5、已知m,n是函數f(x)=x²+(2-k)x+k²+3k+5的兩個零點，求m²+n²的值域

6*、找出二次函數f(x)=ax²+bx+c有一個比d大一個比d小的零點的等價條件，并證明

                              [答案]

1、⑴a=2,b=-12；   ⑵ac<0(或af(0)<0)；    ⑶c    2、α<a<b<β；      

3、⑴[-，-);⑵(3, ];⑶(-1,3)

4、f(x)的對稱軸為x=-a,這樣有對稱軸在[0,1]的左側、之間、右側三種情況，如圖

⑴⑴無解

或⑵-1≤a<0；

或⑶ a=1

總之-1≤a≤0

5、△=-3k²-16k-16≥0，-4≤k≤-，m+n=k-2,mn=k²+3k-5,

f(k)= m²+n²=(m+n)²-2mn=(k-2)²-2(k²+3k-5)=-k²-10k-6↓，值域為[，18]

   6*、從圖形看也是如此，二次函數f(x)=ax²+bx+c有一個比d大一個比d小的零點af(d)<0；

證明：f(x)= ax²+bx+c有一個比d大一個比d小的零點,設為x₁,x₂(x₁-d)(x₂-d)=x₁x₂-d(x₁+x₂)+d²=+d+d²<0ac+abd+ad²<0af(d)<0

2,5.1 （2）函數與方程：具體的一元二次不等式解法

[教學目的]：

[教學重點]：圖象法解一元二次不等式

[教學難點]一元二次方程一元二次不等式與二次函數的關系

[ 教學過程]

       組織討論： 
    從上面的例子出發，綜合學生的意見，可以歸納出確定一元二次不等式的解集，關鍵要考慮以下兩點：
    (1)拋物線與x軸的相關位置的情況，也就是一元二次方程=0的根的情況
    (2)拋物線的開口方向，也就是a的符號
 總結討論結果：
   （l）拋物線 （a> 0）與 x軸的相關位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程 =0的判別式三種取值情況(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）來確定   （2）a<0可以轉化為a>0

設相應的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：

   二次函數

（）的圖象

一元二次方程

有兩相異實根

有兩相等實根

     無實根

        R

例1   解不等式

解：作出函數的圖像

因為.

所以，原不等式的解集是.

說明：解一元二次不等式的步驟：

①     看看：看二次項系數將二次項系數是否為正，否則一般化為“+”：

②算算： 計算判別式，在△>0時，求確定方程的根

③ 畫畫：畫出函數圖象

④寫寫：寫出不等式相應解集

練習1解不等式.（.）

練習2解不等式.（）.

練習3解不等式.（）.

      例2，關于x的不等式的解集是，求k的范圍

解  =k²+8k<0,故-8<k<0

說明：已知解集求變量范圍，實質就是將解不等式的過程倒過來求

練習1：不等式x²＋mx+＞0恒成立的條件是___________(答：0<m<4)

練習2：已知關于x的不等式ax²+bx+c>0的解集為{x|-1<x<2},求cx²+bx+a<0的解集（解答：-1與2是確定的方程ax²+bx+c=0的兩個根，且a<0,于是-1+2=1=-,-1×2=-2=，兩式相除得=，從而c<0,cx²+bx+a<0x²+x+>0x²+x->0

②     看看：看二次項系數將二次項系數是否為正，否則一般化為“+”：

②算算： 計算判別式，在△>0時，求確定方程的根

③ 畫畫：畫出函數圖象

④寫寫：寫出不等式相應解集

?1、若不等式ax²+bx+b<0(a≠0)的解集是R，那么下列式子正確的是(    )?

A.a<0且b²－4ab>0? B.a<0且b²－4ab<0?C.a<0且b²－4ab≤0? D.a<0且b²－4ab≥0

2、.不等式－3<4x－4x²≤0的解集是________________________?

3、若0<a<1,則不等式(x－a)(x－)<0的解是__________________.

4、已知集合A＝｛x∈R｜x²－x－2≤0｝，B＝｛x∈R｜a＜x＜a＋3｝,A∩B＝，則實數a的取值范圍是______

5、方程x²＋(m－3)x+m=0有兩個實根，則m的取值范圍是______.

6. 對于任意實數x，不等式(a－2)x²－2(a－2)x－4＜0恒成立，求實數a的取值范圍. 7.m是什么實數時，方程mx²－(1－m)x+m=0有實根??

8*、實系數不等式ax²+bx+c>0的解為n<x<m,其中n<0<m,求不等式cx²+bx+a<0的解

[答案]

1、B

2、{x|－<x≤0或1≤x<}

3、a<x<

4、a≥2或a≤－4

5、 m≥9或m≤1

6，【解】 若a=2，不等式的解為全體實數

若a≠2，則即－2＜a＜2?綜上－2＜a≤2

7，【解】 當m=0時，原方程為－x=0,x=0?∴m=0時，方程有實根.?當m≠0時，由題意知Δ=(1－m)²－4m²≥0?3m²＋2m－1≤0－1≤m≤且m≠0?

綜上，當m∈｛m｜－1≤m≤｝時，原方程有實根.

8*，由已知,a<0,n+m=-,nm=<0,c>0 ,cx²+bx+a<0x²+x+<0,由已知=-(+),=,故x²-(+)x+<0,解為<x<

2.5.2函數與方程：二分法求方程的近似解

[教學目標]

[教學重點]二分法的掌握

[教學難點]二分法的理解

[備注]本節是一個課件

[教學過程]

一、創設情景，引入新課：

從上海到舊金山的海底電纜有15個接點，現在某接點發生故障，需要及時修理，怎樣檢查？才能盡快斷定故障發生點？

分析：記上海到舊金山的接點依次分別為1，2，3，……,15，先檢查第8個接點處，如果從1到8通，則故障在8到15之間，否則故障在1到8之間（如：故障在8到15之間）；再檢查第12個接點，如果8到12通，則故障在12到15之間，否則故障在8到12之間（設在8到12之間）；再檢查第10個接點，……這樣一步步很快找到故障點。

象以上方法，將每個部分依次分成兩部分，逐步逼近的方法，稱二分法。用它不僅可以如此應用，而且還可以求方程的近似解。主題：二分法求方程的近似解

二、新課內容

x

0.84^x-0.5

3.6

0.03383302

3.8

0.01553872

4

-0.0021286

4.2

-0.0191905

4.4

-0.0356677

4.6

-0.0515803

4.8

-0.0669475

5

-0.0817881

例1、判斷0.84^x=0.5在(3,5)之間是否有解？

解： ，設f(x)=0.84^x-0.5, [方法一]作圖有在(3,5)之間有解

[方法二]計算得

f(3)>0,f(5)<0,故在(3,5)之間有解

說明1：不能作了圖象后就直接說它有解，即不能看起來象就說它是，還需要證明。

練習1：方程a^x=log_ax是否只有一個解？（答：未必；用課件演示）

說明2：對于二次函數y=f(x),如果f(m)f(n)<0,則f(x)=0在(m,n)有且僅有一個實數根。對于一般的函數f(x)，這個結論還是否成立？不成立需要加說明條件？結論又是什么？

不成立，如圖的情況在(x₁,x₂)內一定有解，但不是惟一解。一般的，對于連續函數y=f(x),f(m)f(n)<0,則f(x)=0在(m,n)內一定有解，但未必只有一個解

練習2：判斷方程x³+3x-1=0在(0,1)內是否有解？（有）

例2、利用計算器求方程lgx=3-x的近似解（精確到0.1）

x

lgx+x-3

2

-0.69897

2.1

-0.57778

2.2

-0.45758

2.3

-0.33827

2.4

-0.21979

2.5

-0.10206

2.6

0.014973

2.7

0.131364

2.8

0.247158

2.9

0.362398

3

0.477121

解：作出y=lgx與y=3-x的圖象如圖，（也可以列表如表）

解在(2,3)之間，檢驗設f(x)=lgx+x-3，有： f(2)<0,f(3)>0,解x₁∈(2,3);f(2.5)<0,解x₁∈(2.5,3);f(2.75)>0, 解x₁∈(2.5,2.75);f(2.625)>0,解在(2.5,2.625)之間；f(2.5625)<0,解在(2.5625,2.625).故解的近似值為2.6

說明：以上就是用二分法求方程近似解的一個過程，是依次將區間二分，最后根據精確度四舍五入找到近似解。二分法求方程近似解的一般步驟是：

練習：求方程2^x+x=4及x³=2x+1的近似解（精確到0.1）（答案：⑴1.4；⑵，-1，-0.6,1.6）

四：作業：教材P81---習題5，補充作業

補充習題

1、寫出下列方程解的個數：⑴4x²-6x-1=0在(-1,2)內_______；⑵log₂(x+4)=3^x_______;⑶e^x=1/x_____;⑷x=ln(x+2)在[e^-2-2,e⁴-2]內_______

2、下列不能用二分法求方程近似解的序號是（      ）

3、已知函數f(x)=ax³+bx²+cx+d的圖象如圖，則b的范圍是_____________

4、函數f(x)=x(x-1)(x-2)+a一定有零點的區間是_____________

5、⑴方程=2x-3的解集是__________;⑵x³-x+1=0在(a,a+1),a∈Z上有解，則a=________________

6、討論方程lgx+lg(4-x)=2lga解的個數

7、已知f(x)為定義在R上的減函數，且為奇函數，解方程f(x³-x-1)+f(x²-1)(精確到0.1)

8*、某教育基金會50年前成立時共有基金440萬元，基金會將這部分基金用于投資，每年將投資收益的一半用于資助教育事業，已知今年這個基金會投入教育事業68萬元，問它的平均年收益率為多少？（精確到0.1%）

                     [答案]

1、⑴2；⑵2；⑶1；⑷2

2、③

3、b<0

4、（-∞，1）

5、⑴{};⑵-2

6、a>1時，有0個；a=1時，有一個；0<a<1時，有兩個

7、1.2

8*、440=68,x≈0.0468