近年全國高考數學試題分析小結

命題走勢(1)

 

集合是近代數學的基礎,簡易邏輯為數學學習和運用知識解決問題提供了知識上的準備,是歷年高考的必考點.縱觀近三年的高考試題,集合、簡易邏輯以選擇題、填空題為主,難度多位于中、低檔.

本章的考查的重點集中體現在以下幾點:

 

一、集合本身的知識,即集合本的有關概念、關系運算等

1.(07全國Ⅰ)設,集合,則(   )

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A.1            B.           C.2           D.

 

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【解答】 C 先看數字0.只有a+b=0或 a=0(a為分母,不合題意,舍去).則只有a=-b.再看第二個集合中的b,只有對應第一個集合中的1,b-a=2. 答案為C.

【說明】  考查了集合的概念中的元素的三性.

 

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2.(07江西)若集合M={0,l,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,x,y ∈M},則N中元素的個數為                                                (   )

A.9             B.6             C.4               D.2

【解答】 C 因為x、y∈M,故把所有可能共9種情況代入驗證即可.

【說明】  關于集合元素個數的問題.

 

 

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二、對集合語言與集合思想的運用,如方程與不等式的解集、函數定義域和值域、曲線間的相交問題等,也即集合作為工具在數學中的應用。

3.(07年山東)已知集合,則(    )

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A.           B.              C.         D.

【解答】  集合M中沒有元素0,因此C、D排除,再看1是否是N中元素,代入驗算,不合適,因此A被排除.答案為B.

【說明】  此題中集合M是用列舉法給出的,不要弄錯哦!

 

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4.(07年安徽)若,,則的元素個數為

(A)0                           (B)1                        (C)2                 (D)3

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【解析】 C  =,=

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=,其中的元素個數為2,選C。

【說明】  考查了補集、交集的運算.

 

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5.(07年湖北)設P和Q是兩個集合,定義集合P-Q=,如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于

A.{x|0<x<1}        B.{x|0<x≤1}          C.{x|1≤x<2}            D.{x|2≤x<3}

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【解答】 看關鍵數1:1∈P而1Q,所以A、D排除.當x=滿足條件.答案為B.

【說明】 新定義一個集合的運算規則,要求考生現場發揮.

 

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6.(07北京)已知集合其中,由中的元素構成兩個相應的集合,,其中是有序實數對,集合的元素個數分別為.若對于任意的,則稱集合具有性質.

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(Ⅰ)檢驗集合是否具有性質,并對其中具有性質的集合寫出相應的集合

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(Ⅱ)對任何具有性質的集合,證明:

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(Ⅲ)判斷的大小關系,并證明你的結論.

 

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【解答】(Ⅰ)解:集合不具有性質具有性質,其相應的集合

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(Ⅱ)證明:首先由中的元素構成的有序實數對共有個,因為,

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又因為當,

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所以當,于是集合中的元素的個數最多為,即.

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(Ⅲ)解:,證明如下:

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①對于,根據定義

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如果中的不同元素,那么中至少有一個不成立,于是中至少有一個不成立,故也是中的不同元素.可見中的元素個數不多于中的元素個數,即;

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②對于,根據定義

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如果中的不同元素,那么中至少有一個不成立,于是中至少有一個不成立,故也是中的不同元素.可見中的元素個數不多于中的元素個數,即.

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由①②可知.

【說明】  本題以集合為載體,涉及到它的性質,考查了考生的知識遷移能力和抽象思維能力.

 

 

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三、命題和充要條件的知識,命題之間的邏輯關系以及判斷是非的能力和推理能力

7.(07湖北)已知的充分條件而不是必要條件,的充分條件,的必要條件,的必要條件,F有下列命題:①的充要條件;②的充分條件而不是必要條件;③的必要條件而不是充分條件;④的必要條件而不是充分條件;⑤的充分條件而不是必要條件,則正確命題序號是()

A.①④⑤        B.①②④      C.②③⑤      D. ②④⑤                 B

【解答】  B  由題意,得

 

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所以答案為B.

【說明】  本題考查充要條件的概念及“邏輯非”命題.

 

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8. (07江西)設p:f(x)=ex+In x+2x2+mx+l在(0,+∞)內單調遞增,q:m≥-5,則p是q的                                                           (   )

   A.充分不必要條件              B.必要不充分條件

   C.充分必要條件                D.既不充分也不必要條件

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【解答】  由題意知 f ′(x)=在(0,+∞)上恒成立.

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恒成立.

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                     ①

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                         ②

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綜合①②  的最大值要小于-5,不妨設為c.

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∴m≥c不可能推出m≥-5.

但由m≥-5,可以推出m≥c.

故B正確.

【說明】 本題考查了函數與導數恒成立問題的綜合應用.

命題走勢

 

三角函數的考查形式與特點主要有:

 

【例1】  (2007年四川)下面有五個命題:

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一、客觀題重基礎,有關三角函數的小題其考查重點是三角函數的概念、圖象與圖象變換、定義域與值域、三角函數的性質和三角函數的化簡與求值.

①函數y=sin4x-cos4x的最小正周期是.

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②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=|.

③在同一坐標系中,函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有三個公共點.

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④把函數

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⑤函數

其中真命題的序號是       ① ④    ((寫出所有真命題的編號))

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解答:①,正確;②錯誤;③,在第一象限無交點,錯誤;④正確;⑤錯誤.故選①④.

【點評】  本題通過五個小題全面考查三角函數的有關概念、圖象、性質的基礎知識. 三角函數的概念,在今年的高考中,主要是以選擇、填空的形式出現,每套試卷都有不同程度的考查.預計在2008年高考中,三角函數的定義與三角變換仍將是高考命題的熱點之一.

 

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【例2】(2007年安徽)函數的圖象為C:

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①     圖象關于直線對稱;

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②     ②函數在區間內是增函數;

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③由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象.

   以上三個論斷中正確論斷的個數為

  (A)0                           (B)1                        (C)2                 (D)3

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解答 C  ①圖象關于直線對稱,當k=1時,圖象C關于對稱;①正確;②x∈時,∈(-,),∴ 函數在區間內是增函數;②正確;③由的圖象向右平移個單位長度可以得到,得不到圖象,③錯誤;∴ 正確的結論有2個,選C.

【點評】  本題主要考查了三角函數的圖象和性質及三角函數圖象的平移變換.

 

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   二、解答題重技能.三角函數解答題是高考命題的?汲P碌幕A性題型,其命題熱點是章節內部的三角函數求值問題;命題的亮點是跨章節的學科綜合命題.

【例3】  (2007年安徽)已知的最小正周期,

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,且a?b

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的值.

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解答:因為的最小正周期,故

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,又.故

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由于,所以

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【點評】 本小題主要考查周期函數、平面向量數量積與三角函數基本關系式,考查運算能力和推理能力.屬于三角函數求值問題.

     本類問題一般有三種形式:①給式求值,②給值求值,③給值求角.其一般解法是:將角化為特殊角或將三角函數化為同角、同名函數進行合并與化簡,最后求出三角函數的值來.

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【例4】  (2007年天津)已知函數

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(Ⅰ)求函數的最小正周期;

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(Ⅱ)求函數在區間上的最小值和最大值.

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解答:(Ⅰ)解:

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因此,函數的最小正周期為

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(Ⅱ)解法一:因為在區間上為增函數,在區間上為減函數,又,,

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故函數在區間上的最大值為,最小值為

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解法二:作函數在長度為一個周期的區間上的圖象如下:

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由圖象得函數在區間上的最大值為,最小值為

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【點評】  本小題考查三角函數中的誘導公式、特殊角三角函數值、兩角差公式、倍角公式、函數的性質等基礎知識,考查基本運算能力.

 

 

【例5】 (2007年四川)如圖,l1l2、l3是同一平面內的

三條平行直線,l1l2間的距離是1, l2l3間的距離是2,

正三角形ABC的三頂點分別在l1、l2l3上,則△ABC的邊長

是                     (   )

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三、考應用融入三角形之中.解三角形題目既考查三角形的知識與方法,又考查運用三角公式進行恒等變換的技能.

(A)                  (B)          

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(C)                  (D)

解答:D  因為l1、l2l3是同一平面內的三條平行直線,

l1與l2間的距離是1,l2與l3間的距離是2,所以過A作

l2的垂線,交l2、l3分別于點D、E,如圖,則∠BAD=

∠BAC+∠CAE,即∠BAD=60°+∠CAE,記正三角形ABC

的邊長為a,兩邊取余弦得:

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,

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整理得,故選D. 

【點評】  本題以平面幾何為平臺,主要考查運用三角函數的相關知識解決實際問題的能力.本題意圖與新課標接軌,需引起高三備考學生的密切關注.

 

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【例6】 (2007年全國)設銳角三角形的內角的對邊分別為,

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(Ⅰ)求的大小;

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(Ⅱ)求的取值范圍.

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解:(Ⅰ)由,根據正弦定理得,所以,

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為銳角三角形得

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(Ⅱ)

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為銳角三角形知,

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,,

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所以.由此有,

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所以,的取值范圍為

【點評】 (1)問考查正弦定理的簡單應用,當屬容易題,(2)問主要考查了三角函數兩角和與差的正余弦公式應用,但題干中△ABC為銳角三角形是不可忽略的條件,必須在分析題目時引起足夠的重視.

 

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四、綜合體現三角函數的工具性作用.雖然工具性作用有所減弱,但是對它的考查還會存在.這是由于近年高考出題突出以能力立意,加強了對知識的應用性地考查經常在知識的交匯點處出題.

【例7】 如圖,甲船以每小時海里的速度向正北方航行,

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乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于處時,乙船位于

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甲船的北偏西方向的處,此時兩船相距海里,當甲船

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航行分鐘到達處時,乙船航行到甲船的北偏西方向

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處,此時兩船相距海里,問乙船每小時航行多少海里?

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解法一:如圖,連結,由已知,

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,

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,

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是等邊三角形,

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,

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由已知,,

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,

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中,由余弦定理,

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因此,乙船的速度的大小為(海里/小時).

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答:乙船每小時航行海里.

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解法二:如圖,連結,由已知,,

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,

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中,由余弦定理,

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由正弦定理

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,

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,即

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中,由已知,由余弦定理,

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,

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乙船的速度的大小為海里/小時.

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答:乙船每小時航行海里.

【點評】 本題是解斜三角形的應用題,考查了正、余弦定理的應用,等邊三角形的判定.求解本類問題時應按照由易到難的順序來求解,最重要的是首先要對圖形進行有效分割,便于運用正、余弦定理.

    由于近年高考題突出以能力立意,加強對知識和應用性的考查,故常常在知識的交匯點處出題.用三角函數作工具解答應用性問題雖然是高考命題的一個冷點,但在備考時也需要我們去關注.

 

 

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【例8】  已知函數

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(I)證明:當時,上是增函數;

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(II)對于給定的閉區間,試說明存在實數       ,當時,在閉區間上是減函數;

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(III)證明:

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解答:(Ⅰ)證明:由題設得

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又由,且t<得t<,即

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>0

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由此可知,為R上的增函數

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(Ⅱ)證法一:因為<0是為減函數的充分條件,所以只要找到實數k,使得

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<0,即t>

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在閉區間[a,b]上成立即可

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因此y=在閉區間[a,b]上連續,故在閉區[a,b]上有最大值,設其為k,t>k時, <0在閉區間[a,b]上恒成立,即在閉區間[a,b]上為減函數

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證法二:因為<0是為減函數的充分條件,所以只要找到實數k,使得t>k時

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<0,

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在閉區間[a,b]上成立即可

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<0()當且僅當

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<0()

而上式成立只需

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成立 取中較大者記為k,易知當t>k時,<0在閉區[a,b]成立,即在閉區間[a,b]上為減函數

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(Ⅲ)證法一:設

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易得

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易知當x>0時, >0;當x<0, <0

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故當x=0時,取最小值,所以

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于是對任意x、t,有,即

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證法二:設=

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,當且僅當

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≥0

只需證明

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≤0,即

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≥1

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以下同證法一

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證法三:設=,則

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易得當t>時, >0; t<時, <0,故當t=取最小值

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以下同證法一

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證法四:

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設點A、B的坐標分別為,易知點B在直線y=x上,令點A到直線y=離為d,則

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以下同證法一

【點評】  本題是遼寧卷的壓軸題,在三角函數,導數,最值,不等式恒成立的有關問題的交匯處命題,真正體現了從整體的高度和思維價值的高度上設計試題的宗旨,注重了學科的內在聯系和知識的綜合性.

(5) 三年的“平面向量”考了哪些內容?

平面向量是高中數學的三大數學工具之一,具有代數和幾何的雙重性.向量是數形結合的典范,是高考數學綜合題命制的基本素材和主要背景之一,也是近年高考的熱點.主要涉及的知識點有:

向量基本概念及相關的基本理論在高考試題中可以以選擇、填空的形式出現,特別是向量加減法的運算及其幾何意義在試題的難易程度上可以偏難一些。

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一、向量的加法與減法、實數與向量的積

【例1】 (2006年北京卷)若三點共線,則的值等于              .

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解:, ,依題意,有(a-2)?(b-2)-4=0

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即ab-2a-2b=0所以

 

【例2】 (2006年上海) 如圖,在平行四邊形ABCD中,下列結論中錯誤的是      (      )

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(A)    

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(B)

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(C)

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(D)=0

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解:由向量定義易得, (C)選項錯誤;.

 

二、向量的數量積與運算律

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【例3】 (2006年遼寧卷)設,,,點是線段上的一個動點,,若,則實數的取值范圍是            (      )

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(A)   (B)  (C)    (D)

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解答:

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解得: ,因點是線段上的一個動點,所以,即滿足條件的實數的取值范圍是,故選擇答案B.

【點評】 本題考查向量的表示方法,向量的基本運算,定比分點中定比的范圍等等.

 

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【例4】 (2006年遼寧) 已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設圓的方程為

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(I) 證明線段是圓的直徑;

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【解析】(I)證明1:

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整理得:

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設M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則

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整理得:

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故線段是圓的直徑

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證明2:

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整理得:

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……..(1)

設(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則

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去分母得:

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滿足上方程,展開并將(1)代入得:

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故線段是圓的直徑

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證明3:

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整理得:

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……(1)

以線段AB為直徑的圓的方程為

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展開并將(1)代入得:

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故線段是圓的直徑

【點評】本小題考查了平面向量的基本運算.

 

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三、兩點間的距離公式、線段的定比分點與圖形的平移

【例5】 (2005年全國卷)點在平面上作勻速直線運動,速度向量v=(4,-3)(即點的運動方向與v相同,且每秒移動的距離為|v|個單位).設開始時點的坐標為(-10,10),則5秒后點的坐標為

(A)(-2,4)  (B)(-30,25)  (C)(10,-5)  (D)(5,-10)

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解:設5秒后點P運動到點A,則,

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=(10,-5),選(C)

 

【例6】  (2006年湖北卷)設函數 f(x)=a?(b+c),其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R.

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(Ⅰ)求函數的最大值和最小正周期;

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(Ⅱ)將函數的圖像按向量d平移,使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱,求長度最小的d.

   解:(Ⅰ)由題意得,f(x)=a?(b+c)=(sinx,-cosx)?(sinx-cosx,sinx-3cosx)

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               =sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+sin(2x+).

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所以,f(x)的最大值為2+,最小正周期是.

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(Ⅱ)由sin(2x+)=0得2x+=k.,即x=,k∈Z,

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于是d=(,-2),k∈Z.

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因為k為整數,要使最小,則只有k=1,此時d=(?,?2)即為所求.

   【點評】本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖像的基本知識,考查推理和運算能力。

 

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四、正弦定理、余弦定理、解斜三角形

   【例7】 (2005年江蘇卷)△ABC中,則△ABC的周長為

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(A)        (B)

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(C)           (D)

試題詳情

     解答:在中,由正弦定理得:化簡得AC=

試題詳情

       ,化簡得AB=,

試題詳情

       所以三角形的周長為:3+AC+AB=3++

試題詳情

           =3+  故選D.

【點評】 本題考查了在三角形正弦定理的的運用,以及三角公式恒等變形、化簡等知識的運用.

 

試題詳情

   【例8】 (2006年天津卷)如圖,在中,,

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(1)求的值;

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(2)求的值.

解答:(Ⅰ)由余弦定理

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(Ⅱ)由,且

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由正弦定理 解得

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  由倍角公式

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,故 

【點評】 本小題考查同角三角函數關系、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查基本運算能力及分析和解決問題的能力.

 

五、平面向量的工具性應用

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【例9】 (2007年四川卷)設、分別是橢圓的左、右焦點.

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(Ⅰ)若是該橢圓上的一個動點,求的最大值和最小值;

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(Ⅱ)設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點,且∠為銳角(其中為坐標原點),求直線的斜率的取值范圍.

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解答:(Ⅰ)解法一:易知

試題詳情

所以,設,則

試題詳情

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因為,故當,即點為橢圓短軸端點時,有最小值

試題詳情

,即點為橢圓長軸端點時,有最大值

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解法二:易知,所以,設,則

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(以下同解法一)

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(Ⅱ)顯然直線不滿足題設條件,可設直線,

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聯立,消去,整理得:

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得:

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,即  ∴

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故由①、②得

【點評】本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識,以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力.

  由于向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”,使向量與函數、三角函數、解析幾何、立體幾何之間有著密切聯系.在高考中就著重突出了對向量與數學其他分支的結合考查.

    同學們在平時的復習中,需要能熟練地掌握向量語言與其他數學語言之間的等價轉化.

 

命題走勢(6)

 

(6) 三年的“不等式”考到怎樣難度?

不等式在高考中屬主體內容,它與代數內容聯系密切,高考中所占比例約為10~15%.從近三年的高考試題來看,考查的內容及其難度主要以有以下幾點:

 

【例1】  (2006年江蘇卷)設a、b、c是互不相等的正數,則下列等式中不恒成立的是

試題詳情

一、不等式的性質、基本不等式和絕對值不等式的考查,大多出現在選擇題或填空題中,一般屬于容易題或中檔題.因此,關于這一部分的知識,考生在備考中要注意理解并深刻記憶基本公式.

(A)  。˙)

試題詳情

(C)    。―)

試題詳情

解答:運用排除法,C選項,當a-b<0時不成立。

試題詳情

【點評】本題主要考查.不等式恒成立的條件,由于給出的是不完全提干,必須結合選擇支,才能得出正確的結論.運用公式一定要注意公式成立的條件,如果.如果a,b是正數,那么

 

【例2】 (2007年陜西卷)某生物生長過程中,在三個連續時段內的增長量都相等,在各時段內平均增長速度分別為v1,v2,v3,該生物在所討論的整個時段內的平均增長速度為

試題詳情

  (A)                                     (B)

試題詳情

(C)                                           (D)

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解答:設三個連續時間段的時長分別為t1,t2,t3,依題意有v1t1=v2t2=v3t3=l,總的增長量為3l,則t1+t2+t3=l.故該生物在所討論的整個時段內平均增長速度為選D.
【點評】  有些考生對平均增長速度和各段內的增長速度不理解,這就要求考生注意理解教材中的算術平均數,幾何平均數及調和平均數的大小關系,充分認識高考試題來源于教材又高于教材的意義,并在高三備考階段,特別是一輪復習階段注重對課本知識的復習.

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二、單純考查不等式的解法、不等式的證明的試題很少,通常以不等式與函數、數列、解析幾何、三角等知識的綜合問題的形式出現,此類問題多屬于中檔題甚至是難題,對不等式的知識,方法與技巧要求較高.

【例3】(2005年遼寧卷 )在R上定義運算.若不等式對任意實數x成立,則

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    (A)                (B)    

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(C)           (D)

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解答:∵,∴不等式對任意實數x成立,則對任意實數x成立,即使對任意實數x成立,所以,解得,故選C.

【點評】熟悉一元二次不等式恒成立與對應方程的判別式的關系.

 

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【例4】 (2006年山東卷)設f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為

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(A)(1,2)(3,+∞)                 (B)(,+∞)

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(C)(1,2) ,+∞)            (D)(1,2)

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解答:令>2(x<2),解得1<x<2.

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>2(x³2)解得xÎ(,+∞)

選C.

 

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【例5】 (2007年安徽卷)解不等式

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     解答:因為對任意,

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所以原不等式等價于

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,,故解為

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所以原不等式的解集為

【點評】本題將絕對值和三角函數融合到解不等式中進行考查,其根源是高次不等式的解法,解簡單的高次不等式時,將高次系數化為正,再進行因式分解(往往分解為多個一次因式的乘積的形式),然后運用“數軸標根”.

 

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三、不等式幾乎能與所有數學知識建立廣泛的聯系,復習時尤其是注意以導數或向量為背景的導數(或向量)、不等式、函數的綜合題和有關不等式的證明或性質的代數邏輯推理題.

【例6】 (2006年四川卷)已知函數f(x)=, f(x)的導函數是.對任意兩個不相等的正數,證明:

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(Ⅰ)當時,;

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(Ⅱ)當時,。

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解答:(Ⅰ)由

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 得

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               而  ①

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               又

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              ∴  ②

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             ∵   ∴

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  ∴  ③

由①、②、③得

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(Ⅱ)證法一:由,得

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下面證明對任意兩個不相等的正數,有恒成立

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即證成立

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,則

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,列表如下:

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極小值

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       ∴

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∴對任意兩個不相等的正數,恒有

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證法二:由,得

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是兩個不相等的正數

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,列表:

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極小值

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   即

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即對任意兩個不相等的正數,恒有

【點評】 本小題主要考查導數的基本性質和應用,函數的性質和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力,是一道綜合性的難題.

 

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【例6】  (2007年四川卷)設函數.

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(Ⅰ)當x=6時,求的展開式中二項式系數最大的項;

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(Ⅱ)對任意的實數x,證明

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(Ⅲ)是否存在,使得an<恒成立?若存在,試證明你的結論并求出a的值;若不存在,請說明理由.

 

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解答:(Ⅰ)解:展開式中二項式系數最大的項是第4項,這項是

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(Ⅱ)證法一:因

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證法二:

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故只需對進行比較。

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,有

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,得

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因為當時,單調遞減;當時,,單調遞增,所以在有極小值

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故當時,

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從而有,亦即

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故有恒成立。

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所以,原不等式成立。

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(Ⅲ)對,且

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又因,故

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,從而有成立,

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即存在,使得恒成立。

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【點評】本題考查函數、不等式、導數、二項式定理、組合數計算公式等內容.考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創新意識.不等式本身體現的是放縮思想,所以本題緊扣求證的目標,證法一進行了四次放縮,第一次運用均值不等式放縮,第二次抓住進行放縮,第三次利用進行放縮,最后利用反比例函數的單調性實現了最后一次成功放縮,從而達到了求證的目標,該種解法難度比較大.第二種證明方法則抓住求證的目標,均值不等式放縮后,運用分析綜合法,聯系比較法,進行大小比較,思路自然,只不過為了說明大小關系,最后運用導數判斷單調性,使問題得到解決.

 

 

 

 

 

 

 

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