按照以上排列的規律，第行（）從左向右的第3個數為  

23．將數列中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：

……

記表中的第一列數構成的數列為，．為數列的前項和，且滿足．

（Ⅰ）證明數列成等差數列，并求數列的通項公式；

（Ⅱ）上表中，若從第三行起，第一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數．當時，求上表中第行所有項的和．

解：（Ⅰ）證明：由已知，當時，，又，

所以，

又．所以數列是首項為1，公差為的等差數列．

由上可知，．

所以當時，．

因此

（Ⅱ）解：設上表中從第三行起，每行的公比都為，且．

因為，

所以表中第1行至第12行共含有數列的前78項，故在表中第31行第三列，

因此．又，所以．

記表中第行所有項的和為，

則．

24．（1）設是各項均不為零的（）項等差數列，且公差，若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列．

（i）當時，求的數值；

（ii）求的所有可能值．

（2）求證：對于給定的正整數()，存在一個各項及公差均不為零的等差數列

，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列．

解：（1）①當n=4時, 中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續三項成等比數列，則推出d=0。

     若刪去，則，即化簡得，得

若刪去，則，即化簡得，得

綜上，得或。

②當n=5時, 中同樣不可能刪去，否則出現連續三項。

若刪去，則，即化簡得，因為，所以不能刪去；

當n≥6時，不存在這樣的等差數列。事實上，在數列中，由于不能刪去首項或末項，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個，則必有，這與矛盾。(或者說：當n≥6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續的三項)

綜上所述，。

（2）假設對于某個正整數n，存在一個公差為d的n項等差數列，

其中（）為任意三項成等比數列，則，

即，化簡得   （*）

由知，與同時為0或同時不為0

當與同時為0時，有與題設矛盾。

故與同時不為0，所以由（*）得

因為，且x、y、z為整數，所以上式右邊為有理數，從而為有理數。

于是，對于任意的正整數，只要為無理數，相應的數列就是滿足題意要求的數列。

例如n項數列1，，，……，滿足要求。

八．不等式（基本不等式C；一元二次不等式C；線性規劃A）

25．已知函數，則不等式的解集是                

26．若為不等式組表示的平面區域，則當從－2連續變化到1時，動直線 掃過中的那部分區域的面積為             

27．設函數為實數。

（Ⅰ）已知函數在處取得極值，求的值；

（Ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數的取值范圍。

28．設為正實數，滿足，則的最小值是    3      

九．復數（復數的有關概念B；復數的四則運算B；復數的幾何意義A）

29．復數                    

30．若將復數表示為是虛數單位）的形式，則　　1　　．

31．已知，復數的實部為，虛部為1，則的取值范圍是              

32．已知，其中是虛數單位，那么實數                 

33．若復數是純虛數，則實數a的值為               

34．復數等于                

35．設，且為正實數，則                 

36．若復數z滿足z＝i(2-z)（i是虛數單位），則z＝   　　　　　　　   .

十．導數及其應用（導數的概念A；導數的幾何意義B；導數的運算B；利用導數研究函數的單調性和極大（�。┲礏；導數在實際問題中的應用B）

37．設曲線在點處的切線與直線垂直，則            

38．設直線是曲線的一條切線，則實數的值是         

39．設函數，曲線在點處的切線方程為y=3．

（Ⅰ）求的解析式：

（Ⅱ）證明：函數的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（Ⅲ）證明：曲線上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．

解：（Ⅰ），

于是解得或

因，故．

（Ⅱ）證明：已知函數，都是奇函數．

所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形．而．可知，函數的圖像按向量平移，即得到函數的圖像，故函數的圖像是以點為中心的中心對稱圖形．

（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點．

由知，過此點的切線方程為

．

令得，切線與直線交點為．

令得，切線與直線交點為．

直線與直線的交點為．

從而所圍三角形的面積為．

所以，所圍三角形的面積為定值．

十一。算法初步（算法的有關概念A；流程圖A；基本算法語句A）

（注：框圖中的賦值符號“”也可以寫成“”或“”）

解析：要結束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，

而同時也整除，那么的最小值應為和的最小公倍

數12，即此時有。

41．執行右邊的程序框圖，若，則輸出的           ．

解：，因此輸出

十二.常用邏輯用語（命題的四則運算法則A；必要條件、充分條件、

充要條件B；簡單的邏輯聯結詞A；全稱量詞與存在量詞A）

42．命題“若函數在其定義域內是減函數，

則”的逆否命題是        ②       （填序號）

①若，則函數在其定義域內不是減函數

②若，則函數在其定義域內不是減函數

③若，則函數在其定義域內是減函數

④若，則函數在其定義域內是減函數

43．已知命題所有有理數都是實數，命題正數的對數都是負數，則下列命題中為真命題的是（ D ）

A．                     B．             C．                D．

解析：不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 _為真命題

44．已知數列，，，．

記．．

求證：當時，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）。

（Ⅰ）證明：用數學歸納法證明．

①當時，因為是方程的正根，所以．

②假設當時，，

因為

             ，

所以．

即當時，也成立．

根據①和②，可知對任何都成立．

（Ⅱ）證明：由，（），

得．

因為，所以．

由及得，

所以．

（Ⅲ）證明：由，得

所以，

于是，

故當時，，

又因為，

所以．

概率、統計（隨機事件與概率A；古典概型B；幾何概型A；互斥事件及其發生的概率A；統計案例A）

45．在某地的奧運火炬傳遞活動中，有編號為的18名火炬手．若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數列的概率為          

解：古典概型問題，基本事件總數為。能組成以3為公差的等差數列有（1，4，7），（2，5，8），，（12，15，18）共12組，因此概率

46．甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.

（Ⅰ）求乙投球的命中率；

（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數記為，求的分布列和數學期望.

解：（Ⅰ）設“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B

由題意得

解得或（舍去），所以乙投球的命中率為

（Ⅱ）由題設和（Ⅰ）知

可能的取值為0，1，2，3，故

的分布列為

0

1

2

3

的數學期望

47．在平面直角坐標系中，設是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區域，是到原點的距離不大于1的點構成的區域，向中隨機投一點，則所投點在中的概率是　       　　

本小題考查古典概型．如圖：區域D 表示邊長為4 的正方形的內部（含邊界），區域E 表示單位圓及其內部，因此．

十五�？臻g幾何體（柱、錐、臺、球及其簡單組合體A；三視圖與直觀圖A；柱、錐、臺、球的表面積和體積A）

48．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為          

解析：解題時在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案①

49．右圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是                

解：從三視圖可以看出該幾何體是由一個球和一個圓柱組合而成的，其表面及為

十六。點、線、面之間的位置關系（平面及及基本性質A；直線與平面平行、垂直的判定與性質B；兩平面平行、垂直的判定與性質B）

50．如圖，在四面體中，，點分別是的中點．

求證：（1）直線面；（2）平面面．

證： （1）∵E,F分別是的中點．

∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD，

∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直線EF∥面ACD；

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB=CD，F是ＢＤ的中點，∴CF⊥BD

又EF∩CF=F,   ∴BD⊥面EFC，∵BD面BCD，∴面面

51．如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，．

（Ⅰ）設是上的一點，證明：平面平面；

（Ⅱ）求四棱錐的體積．

解：（Ⅰ）證明：在中，

由于，，，

所以．故．

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面，

故平面平面．

（Ⅱ）解：過作交于，

由于平面平面，

所以平面．因此為四棱錐的高，

又是邊長為4的等邊三角形．因此．

在底面四邊形中，，，

所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，

此即為梯形的高，所以四邊形的面積為．

故．

十七。平面解析幾何初步（直線的斜率和傾斜角B；直線方程C；直線的平行關系與垂直關系B；兩條直線的交點B；兩點間的距離，點到直線的距離B；圓的標準方程和一般方程C；直線和圓、圓和圓、的位置關系B）

52．在平面直角坐標系中，記二次函數（）與兩坐標軸有

三個交點．經過三個交點的圓記為．

（1）求實數b的取值范圍；

（2）求圓的方程；

（3）問圓是否經過定點（其坐標與的無關）？請證明你的結論．

十八、圓錐曲線與方程（中心在坐標原點的橢圓的標準方程與幾何性質B；中心在坐標原點的雙曲線的標準方程與幾何性質A；頂點在坐標原點的拋物線的標準方程與幾何性質A）

53．過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為______________

解：將橢圓與直線方程聯立：，得交點；

故

54．如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：

①;   ②;     ③;   ④＜.

其中正確式子的序號是                     

解：由焦點到頂點的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故應選Ｂ．

55．設，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點．

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

解析：（1）由得，

當得，G點的坐標為，

，，

過點G的切線方程為即，

令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，

即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，

同理 以為直角的只有一個；

若以為直角，則點在以為直徑的圓上，而以為直徑的圓與拋物線有兩個交點。

所以以為直角的有兩個；

因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。