[教學重點]利用導數判斷函數單調性

[教學難點]利用導數判斷函數單調性

[教學過程]

問題1：函數在哪個區間上單調增、單調減？

問題2：在這些區間上切線的斜率有什么特點？

問題3：切線的斜率如何用數學式子表達？

問題4：對于一般的是否還有這一結論？

1. 函數的導數與函數的單調性的關系：

一般的，一個函數在某個區間I上單調增（減）是指：對于區間I內任意兩個值x₁,x₂,x₁<x₂,有f(x₁)<(>)f(x₂),

變形即為正（負）的區間單調增（減）

如何與導數聯系在一起呢？

令x₁=x,x₂=x₁+△x,于是決定于的正負，這樣我們有：

定理：一般地，設函數y=f(x) 在某個區間內有導數，如果在這個區間內y’>0，那么函數y=f(x) 在為這個區間內的增函數；如果在這個區間內y’<0，那么函數y=f(x) 在為這個區間內的減函數

例1、確定函數f(x)=2x³－6x²+7在哪個區間內是增函數，哪個區間內是減函數.

略解：f′(x)=(2x³－6x²+7)′=6x²－12x

∴當x∈(－∞，0)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數.

∴當x∈(0，2)時，f′(x)＜0，f(x)是減函數.

說明：用導數法判斷函數在哪個區間上單調增或減的步驟為：

①求函數f(x)的導數f′(x).

②f(x)在f′(x)＞0（＜0）的解區間上單調增（減）

練習1：求y=x-x³在哪個區間上單調增？在哪個區間上單調減？

練習2：證明函數f(x)=e^x-x在區間(-∞，0)上是減函數

例2、確定函數f(x)=sinx-x在[0，2π]上的單調減區間

解：函數的定義域為R,f^/(x)=cosx->00≤x<或<x≤2π,又函數的圖象在這兩點處不斷開∴函數的單調增區間為[0, ]及[,2π],同理單調減區間為[，]

說明：函數在哪個區間上單調與函數的單調區間說法的不同，后者一般包括了所有可能的值

思考：如何求一個函數的單調區間呢？（對于無常數函數段的可導函數y=f(x),其增區間為f^/(x)≥0的解與定義域的交區間，減區間為f^/(x)≤0的解與定義域的交區間）

練習1：已知函數y=x+，試討論出此函數的單調區間

練習2：

思考：定理的逆命題是否為真？（未必為真，還有端點值）

   例3、y=ax³-x²+x-5在R上單調增，求實數a的范圍

解：y^/=3ax²-2x+1≥0對任意x成立，a=0時不滿足要求；故，a≥

變形：在上單調增呢？

兩點技巧：1用導數求函數單調區間的步驟：①求函數f(x)的導數f′(x).②f(x)在f′(x)＞0（＜0）的解區間上單調增（減）

2、求一個函數的單調區間：對于無常數函數段的可導函數y=f(x),其增區間為f^/(x)≥0的解與定義域的交區間，減區間為f^/(x)≤0的解與定義域的交區間

四、作業課本P34  1、2 、5

[補充習題]

1、函數y=ax³-x(1)其遞減區間為，則實數a的范圍是_________________

 (2)它恰有三個單調區間，實數a的范圍是_______________

2、函數f(x)=-ax,其中a>0，求a的范圍使函數f(x)在上是單調函數，并指出單調性

3、設x>-2,n為正整數，比較(1+x)ⁿ與1+nx的大小

4、討論函數f(x)=(-1<x<1且b≠0)的單調性

[補充習題解答解答]

1、(1)0<a≤1；(2)a>0

2、a≥1，單調減

3、計算f(x)=(1+x)ⁿ-(1+nx)的單調性，結果(1+x)ⁿ≥1+nx

4、b>0時，f(x)減；b<0時，f(x)增

[教后感想與作業情況]

§1.3.2  極值點(1)

[教學目標]

[教學重點難點]極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導函數的極值的步驟.

教學過程：

1.極大值： 一般地，設函數f(x)在點x₀附近有定義，如果對x₀附近的所有的點都有f(x)＜f(x₀)，就說f(x₀)是函數f(x)的一個極大值，記作y_極大值=f(x₀)，x₀是極大值點

2.極小值：一般地，設函數f(x)在x₀附近有定義，如果對x₀附近的所有的點，都有f(x)＞f(x₀).就說f(x₀)是函數f(x)的一個極小值，記作y_極小值=f(x₀)，x₀是極小值點

3.極大值與極小值統稱為極值

在定義中，取極值時自變量的值稱為極值點，極值點不是點（類比零點），極值指的是函數值

用班級分組找年齡最大者說明極值概念

注意：

（1）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小

（2）函數的極值不是唯一的即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個

（3）極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而>

（4）函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點

思考1：函數y=f(x)極值f(x₀)滿足什么條件？

（1）函數在(a,b)上可導；（2）在x=x₀兩側f(x)單調性相反（相應導函數值異號）

思考2：如何求函數的極值？

例1求y=x³－4x+的極值

解：  函數的定義域為R, y′=(x³－4x+)^/=x²－4=(x+2)(x－2)

f_極大(x)=f(-2)=,f_極小(x)=f(2)= －

總結：求函數極值的步驟：

一確（確定函數定義域）

二算（計算函數的導數）

三列（列出數軸、導函數的正負及相應函數的單調性）

四寫（寫出函數的極值，左正右負那么f(x)在分界值處取得極大值；如果左負右正那么f(x)在這分界值處取得極小值）

練習1：求y=x+的極值

練習2：教材P31---3

練習3：求y=(x²－1)³+1的極值

思考3：時是不是一定為的極值？（不一定，如f(x)=x³,f^/(0)=0但不是極值）

思考4：函數在極值處是否導數一定為0？（不一定，如y=|x|,0是極值，但導數不存在）

例2、f(x)=x³-ax²-bx+a²在x=1處有極值10，求a,b的值

解：函數定義域為(-∞,+∞),f^/(x)=3x²-2ax-b,由已知f^/(x)在x=1左右異號，f^/(x)=0有兩個根且f^/(1)=0∴

練習：求函數y=2sinx-x在內極值

[補充習題]

1、求函數f(x)=|x-2|(x-3)(x-4)的極值及相應的x的值

2、求函數f(x)=2x³-3(a-1)x²+1(a≥1)的極值

3、設函數f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8(1)若f(3)是函數的一個極值，求a;(2)f(x)在(-∞,0)上單調增，求a的范圍

[解答]

1、f_極小(x)=f(2)=0, f_極小(x)=f(3+)=-; f_極大(x)=f(3-)=

2、極大值1，極小值1-(a-1)³

3、(1)a=3;(2)a≥0

[教后感想與作業情況]

§1.3.2  極值點(2)――求參數范圍

[教學目標]

[教學重點難點]求參數范圍

[教學過程]

二、應用舉例

例1、已知函數f(x)=x³+ax²-(a-1)x+7有極大、極小值，求實數a的范圍

解：函數的定義域為（-∞，+∞），f^/(x)=3x²+2ax-(a-1),f(x)有增有減，f^/(x)有兩個不等的零點，△=4(a²+3a-3)>0,a>或a<

   練習：a>0,b>0,求f(x)=e^ax-2e^bx有極值的條件   (a≠b)

   例2、關于x的方程x³-3x+a=0有三個不等的實數根，求a的范圍

   解：原方程可以化為a=-x³+3x,只要看y=a與f(x)= -x³+3x交點，為此需要求f(x)的單調性和極值，f(x)的定義域為(-∞,+∞),f^/(x)=-3x²+3=-3(x-1)(x+1)

f_極小(x)=f(-1)=-2,f_極大(x)=f(1)=2,這樣f(x)的圖象大致為

∴-2<a<2

練習：討論f(x)=e^x(x²+ax+a+1)極值點的個數（a<0或a>4時有兩個極值；0≤a≤4時極值個數為0個）

例3、a>0,f(x)=,b為常數

(1)說明其極值的個數   (2)若f_極大(x)=1,f_極小(x)=-1,求a

解：(1)f^/(x)=-,分子的判別式△=4(b²+a²)>0, f^/(x)有兩個零點，對應的f(x)有兩個極值點

(2)y=,yx²-ax+y-b=0,△=-4y²+4by+a²的兩個零點為-1，1，于是a=2

四、作業

1、函數f(x)=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，試確定實數a,b的值，并求f(x)的單調區間

2、y=f^/(x)的圖象如圖，畫出f(x)的大致圖象

3、a為何值時，函數f(x)=asinx+sin3x在x=處有極值？它是極大還是極小值？極值是多少？

4、已知b>-1,c>0,函數f(x)=x+b的圖象與函數g(x)=x²+bx+c的圖象相切

(1)將c用b表示；(2)設函數F(x)=f(x)g(x)在實數集上有極值點，求c的范圍

5、已知函數f(x)=4x³-3x²cosθ+cosθ,其中x∈R,0≤θ≤2π

(1)當cosθ=0時，判斷函數f(x)是否有極值；(2)要使f(x)的極小值大于0，求θ范圍

[解答]

1、a=1/3,b=-1/2,增區間、；減區間[-1/3，1]

2、

3、f^/(x)=acosx+cos3x,f^/()=0,a=2,為極大值

4、(1)b=-1+2  (2)(0,7-4)∪(7+4,+∞)

5、(1)無；(2)(π/6,π/2)∪(3π/2,11π/6)

§1.3.3 函數的最大值與最小值

[教學目標]

[教學重點]利用導數求函數的最大值和最小值的方法．

[教學難點]函數的最大值、最小值與函數的極大值和極小值的區別與聯系．

教學過程：

一、復習引入：

1.極大值： 一般地，設函數f(x)在點x₀附近有定義，如果對x₀附近的所有的點，都有f(x)＜f(x₀)，就說f(x₀)是函數f(x)的一個極大值，記作y_極大值=f(x₀)，x₀是極大值點

2.極小值：一般地，設函數f(x)在x₀附近有定義，如果對x₀附近的所有的點，都有f(x)＞f(x₀).就說f(x₀)是函數f(x)的一個極小值，記作y_極小值=f(x₀)，x₀是極小值點

3、圖中與是極小值，是極大值．函數在上的最大值是，最小值是．

思考：最值如何求？（一般根據圖象和單調性，單調性與導數與極值相聯系，所以可以用導數求函數的最值）引入標題：導數法求函數的最值

問題1.函數的極值與最值有什么區別與聯系？

在閉區間上圖象不間斷的函數在上必有最大值與最小值，與極值的區別有

項目

極值

最值

特例說明

定義范圍

點附近

整個定義域

存在性

未必存在，存在的話也未必惟一

一定存在，而且惟一

常數函數，上面的圖象

大小關系

極大未必不小于極小大

最大一定不小于最小

2、如何根據導數求函數的最值？

設函數在上連續，在內可導，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：

⑴求在內的極值；（一確二算三列四寫） 

⑵將的各極值與、比較得出函數在上的最值

例1求函數f(x)=x+sinx在x∈[0,2π]的最值

_{解：f(x)定義域為}[0,2π]，在(0,2π)內_f/(x)= +cosx

_{f極大(x)=f()=+,f極小(x)=f()=-,又f(0)=0,f(2π)=π}

_{∴fmax(x)= f(2π)=π,fmin(x)=f(0)=0}

_{練習1：求f(x)=x+在[,3]上最值}

_{練習2：求y=x-x3在[0,2]上值域}

例2已知x,y為正實數，且滿足，求的取值范圍

解：[方法一]設S=(xy)²=x²y²=x²=(-x⁴+2x³),  0<x<2,S_x^/=-(2x-3),當x=,S_極大=，∴0<xy≤

[方法二]原式為(x-1)²+(2y)²=1(x>0,y>0),設x-1=cost,2y=sint,0<t<π，xy=sint(1+cost)=f(t),f^/(t)=(2cos²t+cost-1)=(cost+1)(2cost-1),0<t<時，f^/(t)>0,f(t)↑；當<t<π時，f(t)↓，f_極大(x)=f()=∴0<xy≤

說明：必要時進行轉化求解，轉化過程中注意函數定義域

例3.設,函數的最大值為1,最小值為,求常數a,b

解答：

說明：字母運算一定注意字母的范圍

⑴求在內的極值；（一確二算三列四寫） 

⑵將的各極值與、比較得出函數在上的最值

[補充習題]

1、函數y=-x²-2x+3在區間[a,2]上最大值為，則a=_____________

2、函數y=4x³+3x²-36x+5在上的最大值為___________，最小值為__________

3、函數f(x)=x³-3ax-a在(0,1)內有最小值，則a的范圍是___________

4、實數x,y滿足x²+y²=2x,求x²y²的取值范圍

5、已知,∈(0,+∞).是否存在實數,使同時滿足下列兩個條件：（1）)在（0，1）上是減函數，在［1，+∞)上是增函數；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，說明理由.

6、求函數f(x)=(0<x<1,a>0,b>0)的最值

[答案]1、-；2、不存在，-28；3、(0,1)；4、[0，]；5、a=b=1;6、最小為(a+b)²,無最大值