即

    ①             ②

，       

2    =2

即+=4－    得……………11分

將其代入方程①得      

因為曲線的橫坐標范圍為，所以這樣的直線不存在。……………13分

59、(湖北省鄂州市2008年高考模擬)已知橢圓的左、右焦點分別是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點T在線段F₂Q上，并且滿足

   （Ⅰ）設為點P的橫坐標，證明；

   （Ⅱ）求點T的軌跡C的方程；

   （Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F₁MF₂的面積S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請說明理由．

解 （Ⅰ）設點P的坐標為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得

又由知，

所以

   （Ⅱ） 當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上．

當且時，由，得．

又，所以T為線段F₂Q的中點．

在△QF₁F₂中，，所以有

綜上所述，點T的軌跡C的方程是

（Ⅲ） C上存在點M（）使S=的充要條件是

由③得，由④得  所以，當時，存在點M，使S=；

當時，不存在滿足條件的點M．

當時，，

由，

，

，得

【總結點評】平面向量與橢圓的綜合問題是《考試大綱》所

強調的問題，應熟練掌握其解題技巧，一般地，在這類問題

種，平面向量只起“背景”或“結論”的作用，幾乎都不會

在向量的知識上設置障礙，所考查的核心內容仍然是解析幾

何的基本方法和基本思想，比如本題（Ⅰ）本質是焦半徑公

式，核心內容還是橢圓的第二定義的轉化思想．（Ⅱ） 由

“PT其實為線段QF₂的垂直平分線”可聯想到下面的題目：如右圖，Q為長軸為2a橢圓上一動點，QP是∠F₁QF₂的外角平分線，且F₁P⊥QP，延長F₂Q，使F₂Q與F₁P交于點M，則|QF₁|=|QM|，所以點M的軌跡是以F₂為圓心2a為半徑的圓，進一步可得到P的軌跡是以O為圓心a為半徑的圓．

60、(湖北省黃岡市麻城博達學校2008屆三月綜合測試)已知直線相交于A、B兩點，M是線段AB上的一點，，且點M在直線上.

   （Ⅰ）求橢圓的離心率；

   （Ⅱ）若橢圓的焦點關于直線l的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程.

解：（Ⅰ）由知M是AB的中點，

設A、B兩點的坐標分別為

由

，

∴M點的坐標為                                 4分

又M點的直線l上：

                                                  7分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨設橢圓的一個焦點坐標為關于直線l：

上的對稱點為，

則有                       10分

由已知

，∴所求的橢圓的方程為                 12分

61、(湖北省黃岡市2007年秋季高三年級期末考試)在△ABC中，B是橢圓在x軸上方的頂點，是雙曲線位于x軸下方的準線，當AC在直線上運動時。

(1)求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；

(2)過定點作互相垂直的直線，分別交軌跡E于M、N和R、Q，求四邊形MRNQ面積的最小值。

解：（1）由橢圓方程及雙曲線方程可得點直線方程是

   且在直線上運動。

   可設

   則的垂直平分線方程為                            ①

   的垂直平分線方程為          ②

P是△ABC的外接圓圓心，點P的坐標滿足方程①和②

由①和②聯立消去得

故圓心P的軌跡E的方程為

(2)由圖可知，直線和的斜率存在且不為零，設的方程為，

，的方程為

由         得

  △=直線與軌跡E交于兩點。

設，則。

同理可得：四邊形MRNQ的面積

當且僅當，即時，等號成立。

故四邊形MNRQ的面積的最小值為72。（13分）

62、(湖北省荊門市2008屆上期末)已知F₁、F₂為雙曲線C：的左、右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線的左支上，點M在右準線上，且滿足：，（λ＞0）

   （1）求此雙曲線的離心率；

   （2）若過點N（，）的雙曲線C的虛軸端點分別為B₁、B₂（B₁在y軸正半軸上），點A、B在雙曲線上，且，，求雙曲線C和直線AB的方程.

解：（1）法一：依題意四邊形OF₁PM為菱形，設P（x，y）則F₁（－c，0），M（，y）

    代入得

       化簡得e＝2                    ……………4分

法二：OF₁PM為平行四邊形，

又（λ＞0）知P在的角平分線上

∴四邊形OF₁PM為菱形，且邊長為，∴   ………4分

由第二定義知即  又

   （2）∴雙曲線C的方程為 ……………8分

   ∵∴過B₂的直線交曲線C于A、B兩點，且

    設直線AB：代入得

    設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由 

    ∴直線AB的方程為

63、(湖北省荊州市2008屆高中畢業班質量檢測)如圖，已知為平面上的兩個定點，為動點，，且，（是和的交點）

⑴建立適當的平面直角坐標系求出點的軌跡方程；

⑵若點的軌跡上存在兩個不同的點，且線段的中垂線與（或的延長線）相交于一點，證明：（為的中點）

解：⑴如圖1，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系

由題設

，而

點是以為焦點、長軸長為的橢圓，故點的軌跡方程為          （6分）

⑵如圖2，設，，且，

即，又在軌跡上，

即

代入整理得：

，                                                  （10分）

≤≤，≤≤，≤≤

，

，即。

64、(湖北省隨州市2008年高三五月模擬)已知方向向量為的直線過點和橢圓的焦點，且橢圓的中心和橢圓的右準線上的點滿足：。

⑴求橢圓的方程；

⑵設為橢圓上任一點，過焦點的弦分別為,設，求的值。

65、(湖北省武漢市武昌區2008屆高中畢業生元月調研測試)已知圓A：，圓B：，動圓P與圓A、圓B均外切，直線的方程為x＝a(a≤).

（Ⅰ） 求動圓P的圓心的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過點B的直線與曲線C交于M、N兩點，（1）求｜MN｜的最小值；（2）若MN的中點R在上的射影Q滿足MQ⊥NQ，求的取值范圍.

解：（Ⅰ）設動圓P的半徑為，則│PA│＝，│PB│=,

∴│PA│－│PB│=2.                   

 故點P的軌跡是以A、B為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，

其方程為（≥1）.          ………………………………………3分

（Ⅱ）(1)設MN的方程為，代入雙曲線方程，得

.

由，解得.  ………………………………………5分

設,則

.

當時,.               ………………………………………7分

(2)由（1）知 ，.

由,知.

所以，從而.

由,得.           ………………………………………13分

另解：

 (1)若MN的斜率存在，設斜率為，則直線MN的方程為，代入雙曲線方程,得.

由  解得.       …………………………………5分

設,則

＝││＝6＋.

當直線斜率不存在時，＝2，得＝3，＝－3.此時＝6.

所以＝6.                   ……………………………………………7分

(2)當MQ⊥NQ時，│RQ│＝＝.①  

又＝＝2，即＝2 ，

所以│MN│＝， 故.  ② 

將②代入①，得│MN│＝2－.

由│MN│＝2－,得≤－1.        ………………………………………13分

66、(湖南省十二校2008屆高三第一次聯考)已知拋物線x²＝4y上的點P(非原點)處切線與x、y軸分別交于Q、R點，F為拋物線的焦點。

（Ⅰ）

（Ⅱ）若拋物線上的點面積的最小值，并寫出此時過P點的切線方程。

解：（Ⅰ）設

令

。

（Ⅱ）知 

=

顯然只需考查函數

     時，也取得最小值 。

     故此時過P點的切線PR的方程為：

67、(湖南省十二校2008屆高三第一次聯考)如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為；折痕與AB交于點E，點M滿足關系式。若以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系（如下圖）：

    （Ⅰ）．求點M的軌跡方程；

    （Ⅱ）．若曲線S是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形的三邊分別與曲線S切于點.求梯形面積的最小值.

解：（1）如圖，設M（x,y），，又E（0，b）

顯然直線l的斜率存在，故不妨設直線l的方程為y=kx+b,,則

而的中點在直線l上，

故，①

由于代入①即得，又

點M的軌跡方程（）-------------6分

（2）易知曲線S的方程為

設梯形的面積為，點P的坐標為.

        由題意得，點的坐標為，直線的方程為.

      直線的方程為

即：

        令  得，

令  得，

當且僅當，即時，取“=”且，

  時，有最小值為.

梯形的面積的最小值為----------13分

68、(湖南省長沙市一中2008屆高三第六次月考)已知圓M：（x+）²+y²=36及定點N（，0），點P是圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.

（1）求點G的軌跡C的方程.

（2）過點K（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

解：（1）為PN的中點，且GQ是PN的中垂線.

∴

又

∴點G的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，

∴的軌跡方程是……………………………………（5分）

（2）四邊形OASB為平行四邊形，假設存在直線，使；則四邊形OASB為矩形.

若直線的斜率不存在，則的方程為.

，這與=0矛盾，故的斜率存在.………………………（7分）

設直線的方程為、.

     ………………………（9分）

又………………………（12分）

∴存在直線滿足條件. ……………………（13分）

69、(湖南省雅禮中學2008年高三年級第六次月考)在平面直角坐標系中，已知，若實數使得（為坐標原點）

（I）求點的軌跡方程，并討論點的軌跡類型；

（Ⅱ）當時，若過點的直線（斜率不等于零）與（I）中點的軌跡交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

解：（I）由已知可得．

                                                     5分

即P點的軌跡方程是                        7分．

當 P點的軌跡是兩個點．         9分

，即時，方程為 P點的軌跡是雙曲線．                                                                 11分

，即時，方程為, P點的軌跡是兩條射線．        13分

70、(湖南省岳陽市2008屆高三第一次模擬)已知直線l: y＝2x－與橢圓C:＋y²＝ 1 (a＞1)交于P、Q兩點, 以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點A.

(1) 設PQ中點M(x₀,y₀), 求證: x₀＜

(2)求橢圓C的方程.

解: (1)設直線l: y＝2x－與橢圓C: ＋y²＝ 1 (a＞1)交于P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂), 右頂點A(a,0), 將y＝2x－代入x²＋a²y²－a²＝0中整理得(4a²＋1)x²－4a²x＋2a²＝0

∵M(x₀,y₀)為PQ中點 ∴x₀＝ ＝  ＝ － 故x₀＜

(2)依題意: ?＝0, 則(x₁－a)(x₂－a)＋y₁y₂＝0 又y₁＝2x₁－, y₂＝2x₂－

故 (x₁－a)(x₂－a)＋(2x₁－)(2x₂－)＝0 由①②代入③ 得: 4a⁴－4a³－a²＋3＝0

∴(a－)(4a²－a－)＝0 ∵a＞1, 則4a²－a－＞0  故a＝

故所橢圓方程為 ＋ y²＝1

71、(湖南省株洲市2008屆高三第二次質檢)已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。過點F的直線交橢圓于A、B兩點．

  （1）若直線的傾斜角，求；

  （2）求弦AB的中點M的軌跡；

  （3）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，

線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

解：（1）直線方程為與聯立得

                 …………………4分

（2）設弦AB的中點M的坐標為依題意有

 所以弦AB的中點M的軌跡是以為中心，焦點在軸上，長軸長為1，短軸長為的橢圓。                                                               …………………8分

（3）設直線AB的方程為

    代入整理得

    直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根。

    記中點   則

    的垂直平分線NG的方程為 令得

    點G橫坐標的取值范圍為                       …………………13分

72、(吉林省吉林市2008屆上期末)拋物線C的方程為，作斜率為的兩條直線，分別交拋物線C于A兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足

   （1）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；

   （2）設直線AB上一點M滿足證明：線段PM的中點在y軸上；

   （3）當時，若點P的坐標為（1，―1），求∠PAB為鈍角時，點A的縱坐標的取

值范圍.

解：（1）由拋物線C的方程得，

焦點坐標為 ……………………………………2分

   （2）設直線PA的方程為