本專題是高中數學的重點內容之一 ，也是高考考查的熱點。高考中著重考查運算能力、邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力。其中，選擇題、填空題突出“小、巧、活”的特點，而解答題多以中、高檔題目出現。透析近年高考試題，本專題的命題熱點為：等差，等比數列的概念、性質、通項公式、前n項和公式的應用；利用數列的前n項和與通項的關系解題；數列的求和問題；遞推數列問題；數列應用問題；數列與函數、三角、不等式的綜合問題；數列與平面解析幾何的綜合問題，等等。

例1．數列中，，（是常數，），且成公比不為的等比數列．（I）求的值；（II）求的通項公式．

解：（I），，，

因為，，成等比數列，所以，解得或．

當時，，不符合題意舍去，故．

（II）當時，由于，，…………，，

所以．

又，，故．當時，上式也成立，

所以

例2．若都是各項為正的數列，對任意的正整數都有成等差數列，成等比數列。

（1）試問是否是等差數列？為什么？

（2）求證：對任意的正整數成立；

（3）如果，求。

解：依題意……①有  ……②

（1）∵，∴由②式得從而時，

代入①，∴∴是等差數列。

（2）因為是等差數列∴∴

（3）由及①②兩式易得∴的公差

∴∴………………③

又也適合③、∴

∴  ∴

變式：

數列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足a_n+2=2a_n+1－a_n，(n∈N^*) 

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)設S_n=｜a₁｜+｜a₂｜+…+｜a_n｜，求S_n；

(3)設b_n=(n∈N^*)，T_n=b₁+b₂+……+b_n(n∈N^*)，是否存在最大的整數m，使得對任意n∈N^*均有T_n＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由。

解  (1）由a_n+2=2a_n+1－a_na_n+2－a_n+1=a_n+1－a_n可知{a_n}成等差數列，d==－2，∴a_n=10－2n

(2)由a_n=10－2n≥0可得n≤5，當n≤5時，S_n=－n²+9n，

當n＞5時，S_n=n²－9n+40，故S_n=

(3)b_n=

要使T_n＞總成立，需＜T₁=成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7 

例1．已知數列的前n項和為S_n，滿足條件，其中b>0且b1。

(1)求數列的通項a_n；(2)若對，試求b的取值范圍。

解：(1)由已知條件得

當n=1時，，故

(2)由

例2. 已知數列的前項和為，若，

（1）證明數列為等差數列，并求其通項公式；

（2）令，①當為何正整數值時，：②若對一切正整數，總有，求的取值范圍。

解：（1）令，，即，由

  ∵，∴，

即數列是以為首項、為公差的等差數列， ∴

 （2）①，即   ②∵，又∵時，

∴各項中數值最大為，∵對一切正整數，總有恒成立，因此

變式：

1．在等差數列中，，前項和滿足條件，

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）記，求數列的前項和。

解：（Ⅰ）設等差數列的公差為，由得：，所以，即，又＝，所以。

（Ⅱ）由，得。所以，

當時，；當時，，

即。

2．設是數列（）的前項和，，且，，．

（I）證明：數列（）是常數數列；

（II）試找出一個奇數，使以18為首項，7為公比的等比數列（）中的所有項都是數列中的項，并指出是數列中的第幾項．

解：（I）當時，由已知得．

因為，所以． ……①于是． ………②

由②－①得：．……………③于是．………………④

由④－③得：．……………⑤即數列（）是常數數列．

（II）由①有，所以．由③有，所以，

而⑤表明：數列和分別是以，為首項，6為公差的等差數列．

所以，，．

由題設知，．當為奇數時，為奇數，而為偶數，所以不是數列中的項，只可能是數列中的項．若是數列中的第項，由得，取，得，此時，由，得，，從而是數列中的第項．

（注：考生取滿足，的任一奇數，說明是數列中的第項即可）

例1. 如圖，將圓分成個區域，用3種不同顏色給每一個區域染色，要求相鄰區域顏色互異，把不同的染色方法種數記為。求

（Ⅰ）；

（Ⅱ）與的關系式；

（Ⅲ）數列的通項公式，并證明。

解：（Ⅰ） 當時，不同的染色方法種數 ， 當時，不同的染色方法種數 ，

當時，不同的染色方法種數 ， 當時，分扇形區域1，3同色與異色兩種情形

∴不同的染色方法種數 。

（Ⅱ）依次對扇形區域染色，不同的染色方法種數為，其中扇形區域1與不同色的有種，扇形區域1與同色的有種�！�

（Ⅲ）∵

∴    ……………… ，

將上述個等式兩邊分別乘以，再相加，得

，

∴，從而。

證明：當時，  當時， ，當時，

 ，

故

例2. 在數列中，，，．

（Ⅰ）證明數列是等比數列；

（Ⅱ）求數列的前項和；

（Ⅲ）證明不等式，對任意皆成立．

解：（Ⅰ）證明：由題設，得，．

又，所以數列是首項為，且公比為的等比數列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，于是數列的通項公式為．

所以數列的前項和．

（Ⅲ）對任意的，

．

所以不等式，對任意皆成立．

變式：

數列記

（1）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；（2）求數列的通項公式及數列的前n項和

解：（1）

整理得

（2）由

所以

例1. 若函數，數列 成等差數列.

(1)求數列的通項；

(2)若，令，求數列前項和；

(3)在(2)的條件下對任意，都有，求實數的取值范圍。

解：(1) 由求得，所以，得.

(2) ，

，錯位相減得

(3) ，則為遞增數列. 中的最小項為，.

例2． 設數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足關系式: 3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t(t＞0，n=2，3，4…)

(1)求證：數列{a_n}是等比數列；

(2)設數列{a_n}的公比為f(t)，作數列{b_n}，使b₁=1，b_n=f()(n=2，3，4…)，求數列{b_n}的通項b_n；

(3)求和：b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1

解  (1)由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t(1+a₂)－(2t+3)=3t ∴a₂=

又3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t，                                 ①

3tS_n－1－(2t+3)S_n－2=3t                                  ②

①－②得3ta_n－(2t+3)a_n－1=0

∴，n=2，3，4…，所以{a_n}是一個首項為1公比為的等比數列；

(2)由f(t)= =，得b_n=f()=+b_n－1?

可見{b_n}是一個首項為1，公差為的等差數列，于是b_n=1+(n－1)=；

(3)由b_n=，可知{b_2n－1}和{b_2n}是首項分別為1和，公差均為的等差數列，于是b_2n=，

∴b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅+…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1?

=b₂(b₁－b₃)+b₄(b₃－b₅)+…+b_2n(b_2n－1－b_2n+1)

=－ (b₂+b₄+…+b_2n)=－?n(+)=－ (2n²+3n)

變式：

已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上．

（1） 求數列的通項公式；

（2） 設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m.

解：（1）設這二次函數f(x)＝ax²+bx (a≠0) ，則 f`(x)=2ax+b，由于f`(x)=6x－2，得

a=3 ，b=－2， 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（2）由（1）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m，必須且僅須滿足≤，

即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.

題型五、數列與函數、三角、不等式綜合問題

例1．已知函數f(x)=

（1）求f(x)的反函數f^－1 (x)的表達式；

（2）數列中，a₁ =1；a_n =f^－1 (a_n－1)(nÎN，n≥2)，如果b_n =(nÎN)，求數列的通項公式及前n項和S_n；

（3）如果g(n)=2S_n－17n，求函數g(x) (xÎR)在區間[t，t+2] (tÎR)上的最小值h(t)的表達式。

解：（1）

  ∴f^－1 (x)=

（2）

∴  ∴

是以1為首項，公差為1的等差數列    

（3）g(n)=2Sn－17n=n²－16n    xÎR

∴g(x)函數圖像是以頂點M（8，－64）且開口向上的拋物線

(i)當t>8時，g(x)在[t，t+2]上是增函數    ∴h(t)=g(t)=t²－16t

(ii)當t+2<8時，g(x)在[t，t+2]是減函數    ∴h(t)=g(t+2)=t²－12t－28

(iii)當6≤t≤8時    h(t)=g(8)=－64

∴

例2. 函數的反函數為，數列滿足：，數列滿足：，

（1）求數列和的通項公式；

（2）記，若對任意的，恒有成立，求實數的取值范圍.

解：（1）∵，∴，

∴，即，

∴數列是以為首項，公差為1的等差數列，

∴，即。由于，

    ∴

    兩式相減得，當時，，即， 

    它對也適合，∴              

（2）

    ，得  

    ①，

      ∴，

②，

，∴∴  

由①②可得，對一切都有的的取值范圍為

變式：

已知，，數列滿足，， ．

（Ⅰ）求證：數列是等比數列； 

（Ⅱ）當n取何值時，取最大值，并求出最大值；

（III）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

解：（I）∵，，，

∴． 即．

又，可知對任何，，所以．

∵， ∴是以為首項，公比為的等比數列．

（II）由（I）可知=  （）．

 ∴． ．

 當n=7時，，；當n<7時，，；當n>7時，，．

∴當n=7或n=8時，取最大值，最大值為．

（III）由，得       （*）

依題意（*）式對任意恒成立，

①當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．

②當t<0時，由，可知（）．而當m是偶數時，因此t<0不合題意．

③當t>0時，由（），∴　∴．    （）

設     （）

∵ =，

∴．∴的最大值為．

所以實數的取值范圍是．

題型六、數列應用問題

例1. 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數的林木，但由于自然環境和人為因素的影響，每年都有相同畝數的土地沙化，具體情況為下表所示：

1998年

1999年

2000年

新植畝數

1000

1400

1800

沙地畝數

25200

24000

22400

而一旦植完，則不會被沙化。問：（1）每年沙化的畝數為多少？（2）到那一年可綠化完全部荒沙地？

解：（1）由表知，每年比上一年多造林400畝. 因為1999年新植1400畝，故當年沙地應降為畝，但當年實際沙地面積為24000畝，所以1999年沙化土地為200畝. 同理2000年沙化土地為200畝.所以每年沙化的土地面積為200畝

（2）由(1)知，每年林木的“有效面積”應比實造面積少200畝.

設2000年及其以后各年的造林畝數分別為、、、…，則n年造林面積總和為：

由題意： 化簡得解得

故8年，即到2007年可綠化完全部沙地.

變式：

某公司按現有能力，每月收入為70萬元，公司分析部門測算，若不進行改革，入世后因競爭加劇收入將逐月減少．分析測算得入世第一個月收入將減少3萬元，以后逐月多減少2萬元，如果進行改革，即投入技術改造300萬元，且入世后每月再投入1萬元進行員工培訓，則測算得自入世后第一個月起累計收入T_n與時間n（以月為單位）的關系為T_n=an+b，且入世第一個月時收入將為90萬元，第二個月時累計收入為170萬元，問入世后經過幾個月，該公司改革后的累計純收入高于不改革時的累計純收入．

解：入世改革后經過n個月的純收入為萬元，不改革時的純收入為                  

又

由題意建立不等式   

即 

答：經過13個月改革后的累計純收入高于不改革時的累計純收入． 

題型七、數列與平面解析幾何綜合問題

例1. 設是兩個數列，點為直角坐標平面上的點.

（1）對若三點共線，求數列的通項公式；

（2）若數列{}滿足：，其中是第三項為8，公比為4的等比數列.求證：點列(1，在同一條直線上，并求出此直線的方程.

解：（1）因三點共線，  

得故數列的通項公式為  

（2）由題意  

由題意得

當時，

.當n=1時，，也適合上式，

因為兩點的斜率為常數

所以點列（1，在同一條直線上， 且方程為，即.

例2. 已知曲線y=，過曲線上一點（異于原點）作切線。

（I）求證：直線與曲線y=交于另一點；

（II）在（I）的結論中，求出的遞推關系。若，求數列的通項公式；

（III）在（II）的條件下，記，問是否存在自然數m，M，使得不等式m<R_n<M對一切n恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否則請說明理由。

解：（I）y′=

（II） 

（III）①  ②

②－①得：

 ，此時M=2，m=0

變式：

由坐標原點O向曲線引切線，切于O以外的點P₁，再由P₁引此曲線的切線，切于P₁以外的點P₂），如此進行下去，得到點列{ P_n}.

求：（1）的關系式；（2）數列的通項公式

解：（1）由題得，過點P₁（的切線為

過原點

又過點P_n（的

因為過點P_n-1（   

整理得

（2）由（I）得 所以數列{x_n-a}是以公比為的等比數列

反饋練習：

1．已知數列的前n項和，那么這個數列中的奇數項依照原來的順序構成的數列的通項公式是（ B  ）

       A．                        B．

       C．                        D．

2．數列{a_n}的前n項和S_n=3n-2n² (n∈N)，當n>2時有（ D ）

    A．S_n>na₁>na_n    B．S_n< na_n<na₁   C．na₁<S_n<na_n   D．na_n<S_n<na₁

3．已知數列中，，那么等于（ B ）

              A、－495             B、765                 C、1080        D、3105

4．等差數列的通項，則由所確定的數列的前n項和是（  C  ）

  A．           B．          C．          D．

5．等差數列，=－5，它的前11項的算術平均值為5。若從中抽去一項，余下10項的算術平均值為4，則抽去的是（ D  ）

    A．    B．    C．    D．

6．已知數列{a_n}滿足a_n+1=a_n?a_n?1（n≥2），a₁=a，a₂=b，記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，則下列結論正確的是（ A   ）.

（A）a₁₀₀=?a，S₁₀₀=2b?a        （B）a₁₀₀=?b，S₁₀₀=2b?a

（C）a₁₀₀=?b，S₁₀₀=b?a         （D）a₁₀₀=?a，S₁₀₀=b?a

7．設數列滿足且  等于（  D  ）

              A、100a      B、100a²          C、101a¹⁰⁰    D、100a¹⁰⁰

8.已知兩個等差數列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數的正整數的個數是（　D�。�

A．2             B．3            C．4         D．5

9．若兩個等差數列的前n項和(nÎN)，則的值等于

10．已知等差數列的第2項是8，前10項和是185，從數列中依次取出第2項，第4項，第8項，……，第項，依次排列一個新數列，則數列的前n項和=

11．對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數列的前n項和的公式是 2ⁿ⁺¹-2

12．數列中，       

13．已知函數f(x)= (x<－2)

(1)求f(x)的反函數f^-－1(x)；

(2)設a₁=1， =－f^－-1(a_n)(n∈N^*)，求a_n；

(3)設S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，b_n=S_n+1－S_n是否存在最小正整數m，使得對任意n∈N^*，有b_n<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

解  (1)設y=，∵x<－2，∴x=－，即y=f^－-1(x)=－ (x>0)

(2)∵，∴{}是公差為4的等差數列，

∵a₁=1， =+4(n－1)=4n－3，∵a_n>0，∴a_n= 

(3)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=，由b_n<，得m>，

設g(n)= ，∵g(n)= 在n∈N^*上是減函數，∴g(n)的最大值是g(1)=5，

∴m>5，存在最小正整數m=6，使對任意n∈N^*有b_n<成立 

14．已知數列，滿足，，且（）

（I）令，求數列的通項公式；

（II）求數列的通項公式及前項和公式．

解：（Ｉ）由題設得，即（）

易知是首項為，公差為２的等差數列，通項公式為．

（II）由題設得，令，則．

易知是首項為，公比為的等比數列，通項公式為．

由解得， 求和得．

15. 若數列為等差數列，每相鄰兩項，分別為方程的兩根.

(1)    求的通項公式；

(2)    求；

(3)    對于以上的數列｛a_n｝和｛c_n｝，整數981是否為數列｛｝中的項？若是，則求出相應的項數；若不是，則說明理由.

解：(1) 設等差數列的公差為d，由題意得  

由 得      

由   

(2)      

(3)       

∵n是正整數， 是隨n的增大而增大，

又＜981，＞981   ∴ 整數981不是數列｛｝中的項.

16.已知函數且任意的、都有

 （1）若數列

 （2）求的值.

解：（1）  ，

而

 （2）由題設，有

又得上為奇函數.  由

得  

于是

故