1. 理解n次根式與n次方根的概念，熟練掌握用根式表示一個數的算術根

2、會進行根式的運算

1、通過探索與推廣，明確數學概念產生的嚴謹性與科學性

2、通過探究與思考，培養學生的交往能力和理性思維能力

  通過概念的來龍去脈，加深對事物的規律性的認識，體會知識的發生、發展過程

[教學重點]1.根式的概念.     2.n次方根的性質.

[教學難點]的運算結果

教學過程：

32的5次方根，   的5次方根．

說明：①若是奇數，則的次實數方根記作； 若則，若則；

②若是偶數，且則的正的次實數方根記作，的負的次實數方根，記作：；（例如：8的平方根  16的4次方根）

     ③若是偶數，且則沒意義，即負數沒有偶次方根；

     ④      ∴；

⑤式子叫根式，叫根指數，叫被開方數。  ∴．

練習：求下列式子的值：

 ．

2．的次方根的性質

一般地，若是奇數，則；

            若是偶數，則

類別

初中

推廣（高中）

定義

x²=a,x叫a的平方根；x³=a,x叫a的立方根

xⁿ=a,x叫a的n次實數方根

符號

x²=a,x=±（a>0）；x³=a,x=

xⁿ=a,n為偶數時，x=±(a>0);n為奇數時，x=

相關名稱

(a叫被開方數，3叫根指數)整體為三次根式

(a叫被開方數，n叫根指數)整體為n次根式

最簡根式

等價化簡后，被開方數的指數小于根指數且二者互質，被開方數不含分母的根式

同類根式

化簡成最簡根式后，被開方數與根指數都相同的根式

例1求值

①=  -8  ；

②=  |-10|  =  10  ；

③=  ||  =    ；

④= |a- b|  =  a- b  .

去掉‘a>b’結果如何？

例2、已知x²-2x-3≤0，化簡+

解：由已知-1≤x≤3,原式=|x+1|+|x-3|=x+1+3-x=4

練習：求使等式=（2-a）成立的實數a的取值范圍。[-2,2]

練習2：變為=（2+a）呢？

例3、求值

分析：（1）題需把各項被開方數變為完全平方形式，然后再利用根式運算性質；

解：

三、總結：

1、今天主要將初中階段的根式進行了推廣，推廣后原來的運算法則仍然成立。

2、當n為任意正整數時，()=a.②當n為奇數時，=a；當n為偶數時，=|a|=

2、補充習題

1、在、、、中，最簡的根式個數是_______________

2、在、4、5、中同類根式有_________________

3、=成立的條件是_________________

4、當8<x<10時，-=____________________

5、化簡式子的值：⑴；⑵

6、求使等式=(3-a)成立的a的取值范圍

7、化簡，其中1<a<2

8*、化簡a-b-

[答案]

1、2；   2、、4、；    3、x≥2；    4、2x-18；   5、⑴x²;⑵;6、[-3,3]

7、1-；    

8*、a+b與a-b同正時；a+b與a-b同負時

2.2.1.（2）分數指數冪

[三維目標]

1、理解分數指數冪的含義

2、掌握有理指數冪的運算性質

   通過學習根式、分數指數冪、有理指數冪之間的內在聯系，培養學生認識問題、分析問題的能力

   用聯系的觀點看問題，體會從具體到一般的研究方法

[重點與難點]有理指數冪的運算和化簡

（一）復習：（提問）

1．根式的概念及運算性質

2．練習：

（1）              ；（2）              ；（3）              ；

（4）             ；（5）            ；（6）               ；

（7）              ．

（二）新課講解：

1．分數指數冪：        

即當根式的被開方數能被根指數整除時，根式可以寫成分數指數冪的形式；

如果冪的運算性質（2）對分數指數冪也適用，

例如：若，則，， ∴   ．

即當根式的被開方數不能被根指數整除時，根式也可以寫成分數指數冪的形式。

規定：（1）正數的正分數指數冪的意義是；

     （2）正數的負分數指數冪的意義是．

2．分數指數冪的運算性質：整數指數冪的運算性質對于分數指數冪也同樣適用

即    

說明：（1）有理數指數冪的運算性質對無理數指數冪同樣適用；

     （2）0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒意義。

3．例題分析：

例1．求值：   ， ， ，   ．

（解略）

例2． 用分數指數冪的形式表示下列各式：

       ，   ，   .

解：=；

    =；

    =．

練習：判斷下列式子的正誤

⑴a⁰=1(a∈R)    ⑵   ()ⁿ=(b≠0，n∈Z)    ⑶實數a的n次方根為（n∈N₊）

解：⑴錯，a=0時無意義

⑵錯，a=0, n∈Z_-時無意義

⑶錯，a未必有n次方根

例3．計算下列各式的值（式中字母都是正數）．

（1）；   （2）；

解（1）

       =

       =；

   （2） ==．

例4．計算下列各式：

（1）         （2）．

解：（1）==

        ==；

    （2）=．

例5．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.

解：（1）

，

∴，

又由得，∴，

所以.

（2）（法一）

，

（法二）

而

∴，

      又由得，∴，

所以.

評述：（1）第（1）題注重了已知條件與所求之間的內在聯系，但開方時正負的取舍容易被學生所忽視，應強調以引起學生注意；

（2）第（2）題解法一注意了第（1）小題結論的應用，顯得頗為簡捷，解法二注重的是與已知條件的聯系，體現了對立方和公式、平方和公式的靈活運用。

（三）小結：1．學習了分數指數冪的概念和運算性質；

          2．會熟練的利用有理數指數冪的運算性質進行分數指數冪和根式的運算。

補充習題：

1、將化為分數指數冪的形式為                      （      ）

A． B．  C．  D．

2、化簡的結果為

A.a¹⁶                                            B.a⁸                                                          C.a⁴                                                          D.a²

3、化簡［］的結果為                                 （      ）

A．5    B．  C．－      D．－5

4、.=_____________

5、用分數指數冪表示下列式子，

6、化簡(2)(-6)÷（-3）

7、計算：-

8*、已知a=2,b=5,求的值

答案：1、A；   2、C；   3，B；   4，1；   5、,;  6、4a;

7、0；    8*、-50

2.2.2指數函數（1）圖象和性質歸納

[三維目標]

1.理解指數函數的概念，

2．能正確作出其圖象，

3．函數圖象之間的變換

通過作圖體現性質，歸結出底數a的變化情況對函數值的影響

體驗函數式的表達功能，感受實際問題與數學問題的轉化，加深對數形結合的認識

[教學重點]：指數函數的圖象

[教學難點]：指數函數的圖象，以及圖象的變換

（一）復習：（提問）

1．冪的運算性質.

2．引例：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個……1個這樣的細胞分裂次后，得到的細胞個數與的函數關系式是：   ．

這個函數便是我們將要研究的指數函數，其中自變量作為指數，而底數2是一個大于0且不等于1的常量。

（二）新課講解：

1．指數函數定義：

一般地，函數（且）叫做指數函數，其中是自變量，函數定義域是．

思考：為什么要規定a>0,且a1呢？

①若a=0，則當x>0時，=0；當x0時，無意義.

②若a<0，則對于x的某些數值，可使無意義. 如，這時對于x=，x=，…等等，在實數范圍內函數值不存在.

③若a=1，則對于任何xR，=1，是一個常量，沒有研究的必要性.

為了避免上述各種情況，所以規定a>0且a¹1在規定以后，對于任何xR，都有意義，且>0.

練習：判斷下列函數是否為指數函數。

⑴y=2×3^x,⑵y=;⑶y=;⑷y=3^x+1;⑸y=2^3x;⑹y=2^-x;⑺y=x²

答：⑴⑵⑶⑷⑺不是，⑸⑹是

說明：與最簡根式一樣，指數函數指的是等價化簡后的y=a^x(a>0且a¹1)形式

2.指數函數（且）的圖象：

例1．用電子表格畫出，y=()^x,y=10^x,y=()^x的圖象,通過圖象歸納指數函數的性質（圖（1））．

解：列表如下：

x

…

-3

-2

-1

-0.5

0

0.5

1

2

3

…

y=

…

0.13

0.25

0.5

0.71

1

1.4

2

4

8

…

y=

…

8

4

2

1.4

1

0.71

0.5

0.25

0.13

…

x

…

-1.5

-1

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

1

1.5

…

y=

…

0.03

0.1

0.32

0.56

1

1.78

3.16

10

31.62

…

y=

…

31.62

10

3.16

1.78

1

0.56

0.32

0.1

0.03

…

指數函數y=a^x的性質：

類別

內容

定義域

（-∞，+∞）

值域

（0，+∞）

過定點

(0,1)（即x=0時，y=1）

單調性

a>1時單調增，0<a<1時單調減

a的大小與圖象的關系

在y軸右側，a越大，圖象越考上

觀察：指出函數與，y=10^x與y=()^x的圖象有什么關系？由此你能得到什么結論？（關于y軸對稱，一般的函數與的圖象關于軸對稱。）

例2、對于a>0,a≠1，函數y=a^x-1的圖象恒過______點

解答：y=a^x-1可以看作y=a^x的圖象向右平移1個單位得到，y=a^x的圖象恒過定點(0,1)，故y=a^x-1的圖象恒過點(1,1)

練習：y=a^x-1+2恒過______定點（點(1,3)）

例3、y=2^x圖象向右平移一個單位，再向上平移兩個單位，得到y=f(x)，則f(x)的解析式為_____？反之，若y=f(x)的圖象向右平移一個單位，再向上平移兩個單位，得到y=2^x圖象，則f(x)=______

解：(1)f(x)=2^x-1+2

(2)[方法一] y=f(x)向右平移一個單位得到y=f(x-1)，再向上平移兩個單位y=f(x-1)+2,∴y=f(x-1)+2=2^x∴y=f(x-1)=2^x-2=2^(x-1)+1-2,f(x)=2^x+1-2

說明：這一方法，沿著題的敘述順序展開，稱正向思維

[方法二]將y=2^x其沿相反方向平移，即：向左平移一個單位，再向下平移兩個單位，得到y=2^x+1-2=f(x)

說明：這一方法將原問題思路倒過來，稱逆向思維

例4、求下列函數的定義域、值域：

（1）    （2）    （3）   ．

解：（1）   ∴   原函數的定義域是，令 則 ∴得，所以，原函數的值域是．

（2）   ∴   原函數的定義域是， 令  則， 在是增函數    ∴，所以，原函數的值域是．

（3）原函數的定義域是，令   則， 在是增函數，  ∴，所以，原函數的值域是．

練習：教材P52----3

        2．了解函數與圖象間的關系。

       3、由平移求解析式有正向和逆向兩個思路

作業：教材P54----P55習題2.2(2)1，6，7，10

 [補充習題]

1、函數y=(2a²-3a+2)a^x是指數函數，則a的取值集合為_____________

2、函數f(x)=4+a^x-1(a>0,a≠1)的圖象恒過的定點坐標是____________

3、函數f(x)=a^x-(b+1)(a>0,a≠1)的圖象不過第二象限，則實數a、b的范圍是__________

4、函數f(x)=min{1,2^x}的圖象是（      ）

5、指數函數f(x)=(a²-1)^x是減函數，則a的范圍是__________________

6、一個指數函數y=f(x)的圖象過(2,4)點，求f(-1)的值

7、求下列函數的定義域和值域：

⑴ (a>0且a≠1)                   ⑵

8*、已知f(x)=x²-bx+c,f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,比較f(b^x)與f(c^x)的大小

[參考解答]

1、{1/2}

2、(1,5)

3、a>1,b≥0

4、A

5、（-，-1）∪(1, )

6、

7、解：⑴要使函數有意義，必須  ,  

  當時   ；  當時   

  ∵   ∴   ∴值域為

⑵要使函數有意義，必須   即

  ∵     ∴

  又∵     ∴值域為

8*、b=2,c=3,x≥0時，3^x≥2^x≥1,f(t)↑，f(3^x)≥f(2^x);x<0時，1>2^x>3^x,f(x)↓，f(2^x)<f(3^x)；總之f(c^x)≥f(b^x)

2.2.2.指數函數（2）指數函數性質的應用

 [三維目標]

教學重點：指數函數性質的應用

教學難點：指數函數的單調性應用.

[教學過程：]

（一）復習：（提問）

指數函數的概念、圖象、性質

練習：P52---1,2

例1、解關于x的方程9^x+1=27×^2x-1

解：原方程等價于：3^2x+2=2x+2=x+,  x=

說明：解含有指數的方程一般要化成同底數的形式,有：a^f(x)=a^g(x)f(x)=g(x);

例2、解關于x的不等式3×4^x-2×6^x>0  

解：原不等式等價于3×4^x>2×6^x>()^x=()^x,x<1

 說明：解含有指數的不等式一般要化成同底數的形式,有：a>1時a^f(x)>a^g(x)f(x)>g(x);0<a<1時，a^f(x)>a^g(x)f(x)<g(x)

練習：1、書52頁4

例3．設是實數，，

（1）試證明：對于任意在為增函數；

（2）試確定的值，使為奇函數。（3）在(2)的條件下，求函數的值域

解：（1）證明：設，則

，

由于指數函數在上是增函數，且，所以即，

又由，得，，所以，即．

因為此結論與取值無關，所以對于取任意實數，在為增函數。

（2）若為奇函數，則，即

變形得：，解得：，所以，當時, 為奇函數。

[另法]f(x)為定義在R上的奇函數，f(0)=0,a=1,余下證明同上

（3）[方法一]（單調性法）y=1-單調增，而2^x+1>1,所以0<<2, -1<1-<1,f(x)的值域為(-1,1)

[方法二]（反表示法）2^x=->0∴，所以，原函數的值域是．

例4、已知3^x+6^x+9^xa<0在上恒成立，求實數a的范圍

解：原不等式即a<-()^x-()^x恒成立，設-()^x-()^x=f(x),只要a<f_min(x)，而f(x)↓，f_min(x)=f(1)=-1,∴a<-1

[補充習題]

1、一個指數函數f(x)=a^x在[1,2]上最大值比最小值大，則實數a的值為___________

2、、、、從小到大的順序是_________________

3、若(a²+a+2)^x>(a²+a+2)^1-x,則x的范圍是_________________

4、函數f(x)的定義域為(0,1),則f()的定義域為__________________

5、a>1，則函數y=的單調增區間是______________,單調減區間是__________

6、已知函數f(x)=(a^x-a^-x)(a>0,a≠1)是R上的增函數，求實數a的范圍

7、已知9^x-10×3^x+9≤0，求函數y=4^1-x-4×+2的最值

8*、設f(x)=  ⑴0<a<1求f(a)+f(1-a)的值；

⑵求f()+f()+f()+……+f()的值

[解答參考]

1、或

2、<<<

3、x>

4、(-∞，0)∪（2，+∞）

5、、

6、或，解得a>或0<a<1

7、1≤3^x≤9,0≤x≤2,t=∈[,1],

y=f(t)=4t²-4t+2,f_max(t)=f(1)=2,f_min(t)=f()=1

8*、⑴1；⑵500

2.2.2.指數函數（3）(指數函數應用題)

 [三維目標]

   1、學會從具體事例中，建立與指數有關的關系式，再用指數的性質加以解決

  2、了解建摸的過程

   通過有具體值歸納到一般的函數關系式

體會從具體到抽象，從特殊到一般的思維過程及歸納、總結的思想方法

[重點、難點]指數函數的建摸

[過程]

例1、某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過1年剩留的這種物質是原來的84%，畫出這種物質的剩留量隨時間變化的圖象，并從圖象上求出經過多少年，剩量留是原來的一半（結果保留1個有效數字）。

分析：通過恰當假設，將剩留量表示成經過年數的函數，并可列表、描點、作圖，進而求得所求。

解：[方法一]設這種物質量初的質量是1，經過年，剩留量是.

經過1年，剩留量=1×84%=0.84¹；

經過2年，剩留量=1×84%=0.84²；

……

一般地，經過x年，剩留量，

根據這個函數關系式可以列表如下：

0

1

2

3

4

5

6

1

0.84

0.71

0.59

0.50

0.42

0.35

用描點法畫出指數函數的圖象。從圖上看出，只需.

答：約經過4年，剩留量是原來的一半。

通過觀察還可以得到函數解析式

經過年數

剩留量

1

0.84

2

0.84²

3

0.84³

x

猜想0.84^x

   y=0.84^x(x>0)

說明：1、一眼不易看出函數關系式，要從具體的、簡單的數值到一般的情況來進行

2、寫函數關系式時，注意函數定義域，不寫默認為式子有意義的一切x的范圍集合

[方法二]設經過x年剩留量為f(x),由已知：

這樣：=0.84,=0.84,=0.84,……,=0.84，要消去中間項只要以上各式相乘得：=0.84^x-1,f(x)=f(1)0.84^x-1=0.84^x

說明：1、以上解法反復用式子=0.84,稱迭代法；為消去中間項而進行的乘法運算相應稱迭乘，還可以進行加法運算，稱迭加。

2、迭代法中，相應的條件f(1)=0.84稱初始值，f(x)=f(x-1)0.84稱迭代式或遞推式。計算時前面看不出消去誰時，向后多寫幾個式子；后面看不出消去誰時，向前多寫幾個式子。

練習：1已知f(x)為定義在N^*上的函數，且f(1)=1,f(x)-f(x-1)=1,求 f(x)

(解答：f(x)=x)

2、已知鐳經過100年剩留原來質量的?，設質量為1的鐳經過年后的剩留量為，則與之間的函數關系式為      

 解答：

例2、某種儲蓄按復利計算利息，若本金為元，每期利率為，設存期是，本利和（本金加上利息）為元

（1）寫出本利和隨存期變化的函數關系式

（2）如果存入本金1000元，每期利率為2.25?，試計算5期后的本利和

分析：復利是一種計算利息的方法，即將前一期的利息和和本金加在一起作為下一期的本金，再計算下一期的利息，如此反復，得到最后一期的本利和

解：（1）已知本金為元，第1期后的本利和，

第2期后的本利和為；

第3期后的本利和為，…；

第期后的本利和為，，

即本利和隨存期變化的函數關系式為，，

思考：1、第幾期后的本利和超過本金的1.5倍？   (19)

2、要使10期后的本利和翻一翻，利息應為多少？(7.2%)

說明：有關利息計算問題，要注意以下幾點：(1)分清利息的計算是按單利還是復利;(2)正確確定函數解析式中的指數(3)不能誤以為求各期的和，另外運用列舉、分析、歸納的方法探求變化規律是解決數學問題的重要途徑之一，要注意體會并能熟悉掌握這種這種數學思想

例3、對于5年可以成才的樹木，在此期間的年生長率為?，而5年后的年生長率為?，樹木成才后，既可以出售樹木，重新栽種新的樹苗，也可以讓其繼續生長，若按10年的情形考慮，哪一種方案可以獲得較大的木材量？

分析：本題可以由題目的條件，分別計算出兩種栽種方案最終獲得的木材量，據此得到最終需要選擇的栽種方案

解：設新樹苗的木材量為，則10年后有兩種結果

（1）連續生長10年，此種情形的木材量為（1+18%）（1+10%）

（2）生長5年后，重新栽種新樹苗，此種情形的木材量為（1+18%）

則因為所以可得因此，按十年的情形考慮，生長5年后，重新栽種新樹苗可以獲得較大的木材量

 [總結]1、建立函數模型的一般方法圖示為：實際問題一般的函數關系式（有限的情況）;或：實際問題一般的函數關系式（一般情況）

  2、建立函數模型時，一定注意加注定義域，不寫默認為式子有意義的一切x的范圍集合

[作業]教材P55---5,10,12

[補充習題]

1、某服裝商販同時賣出兩套服裝，賣出價為168元/套，以成本計算，一套盈利20%,而另一套虧損20%,則此商販（       ）

A，不賠不賺    B，賺37.2元    C，賺14元    D，賠14元

2、已知偶函數f(x)的定義域為R,當x≥0時有f(x)=,求f(x)的解析式

3、用清水漂洗衣服，若每次能去污垢的，則存留污垢與漂洗次數x的函數關系為___________,若使存留的污垢不超過原有的1%，則至少要漂洗___________次

4、將奇函數的圖象沿x軸的正方向平移2個單位，所得的圖象為C，又設圖象與C關于原點對稱，則對應的函數為    ________________

5、如果函數y=a^x（a>0，a≠1）的圖象與函數y=b^x（b>0，b≠1）的圖象關于y軸對稱，則a、b的關系有 ________________

6、一片樹林現有木材30000m³,如果每年增長5%,經過x年樹林中有木材y  m³,寫出x與y 的函數關系式，并求經過多少年，木材可以增加到40000m³(結果取整數)？

7、當a>1時，對于函數f(x)=

⑴判斷函數的奇偶性；⑵判斷它的單調性并證明；⑶求函數的值域

8*、某醫療研究所開發一種新藥，根據檢測：成人按規定的劑量服藥后每毫升血液中的含藥量y（ug）與時間t(小時)之間近似地滿足如圖所示的曲線

⑴寫出y與t之間的函數關系式y=f(t),并注明函數定義域

⑵當每毫升血液中含藥量低于0.25ug時沒有藥效①求服藥一次治療疾病的有效時間②若t=5時，第二次服藥，問t=8時每毫升血液中含藥量為多少？

 [答案]1、D ;

 2、f(x)=  ;         3、y=(x∈N),4次;   

4、           5、ab=1;       6、y=30000(1+5%)^x  (x≥0)    6年

7、⑴奇函數；⑵單調增，證明略；⑶(-1,1)

8*、⑴f(t)=⑵①4.9373②第一次留0.5⁵+第二次0.5^-1=1.03125