的分布列為

　　…………………………（12分）

15、(黑龍江哈爾濱三中2008年12月高三月考)袋中有3個白球，2個紅球和若干個黑球（球的大小均相同），從中任取2個球，設每取得一個黑球得0分，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，已知得0分的概率為．

（1）求袋中黑球的個數及得2分的概率；

（2）設所得分數為．

解：（1）設黑球x個，則，解得x=4……………………………………4分

………………………………………………………………6分

（2）可取0,1,2,3,4

                      ……………………12分

16、(湖北黃陂一中2009屆高三數學綜合檢測試題)甲，乙兩人進行乒兵球比賽，在每一局比賽中，甲獲勝的概率為。

 (1)如果甲，乙兩人共比賽局，甲恰好負局的概率不大于其恰好勝局的概率，試求的取值范圍；

 (2)若，當采用局勝制的比賽規則時，求甲獲勝的概率；

 (3)如果甲，乙兩人比賽局，那么甲恰好勝局的概率可能是嗎？

解：設每一局比賽甲獲勝的概率為事件A，則

   (1)由題意知…………………………………………2分

    即解得P＝0或…………………………………4分

   (2)甲獲勝，則有比賽2局，甲全勝，或比賽3局，前2局甲勝1局，第3局甲勝，故

    ……………………………………………………8分

   (3)設“比賽6局，甲恰好勝3局”為事件C  則P(C)＝………9分

    當P＝0或P＝1時，顯然有…………………………………………………10分

    又當0＜P＜1時，

    …………………………11分

故甲恰好勝3局的概率不可能是.……………………………………………………12分

17、(甘肅省蘭州一中2008―2009高三上學期第三次月考)一袋中裝有6張同樣的卡片，上面分別標出1，2，3，4，5，6，現從中隨機取出3張卡片，以ξ表示取出的卡片中的最大標號。

   （I）求ξ的分布列；

   （II）求Eξ。

解：（I）ξ的可能取值為3，4，5，6，                    …………1分

       …………9分

所以ξ的分布列為

ξ

3

4

5

6

P

0.05

0.15

0.3

0.5

                                                        …………10分

   （II）Eξ=0.05×3+0.15×4+0.3×5+0.5×6=5.25             …………12分

18、(廣東省廣州市2008-2009學年高三第一學期中段學業質量監測)某商場準備在國慶節期間舉行促銷活動,根據市場調查,該商場決定從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品進行促銷活動.

(Ⅰ)試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率;

(Ⅱ)商場對選出的某商品采用的促銷方案是有獎銷售,即在該商品現價的基礎上將價格提高150元,同時,若顧客購買該商品,則允許有3次抽獎的機會,若中獎,則每次中獎都獲得數額為的獎金.假設顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是,請問:商場應將每次中獎獎金數額最高定為多少元,才能使促銷方案對商場有利?

解: (Ⅰ)從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品一共有種選法,.選出的3種商品中沒有日用商品的選法有種, 所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為.……4分

(Ⅱ)顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額是一隨機變量,設為X,其所有可能值為0, ,2,3.……6分

X=0時表示顧客在三次抽獎中都沒有獲獎,所以……7分

同理可得……8分

……9分

……10分

于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是.……12分

要使促銷方案對商場有利,應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商場的提價數額,因此應有,所以, …… 13分

故商場應將中獎獎金數額最高定為100元,才能使促銷方案對商場有利. …… 14分

19、(四川省成都市高2009屆高中畢業班第一次診斷性檢測)某果園要將一批水果用汽車從所在城市甲運至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運費由果園承擔.

如果果園恰能在約定日期(×月×日)將水果送到，則銷售商一次性支付給果園20萬元，若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給果園1萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天，銷售商將少支付給果園1萬元.

為保證水果新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發，且只能選擇其中一條公路運送水果，已知下表內的信息

          統計信息

汽車行駛路線

不堵車的情況下到達

城市乙所需時間(天)

堵車的情況下到達

城市乙所需時間(天)

堵車的

概率

運費

(萬元)

公路1

2

3

1.6

公路2

1

4

0.8

(1)記汽車走公路1是果園獲得的毛利潤為ξ(萬元)，求ξ的分布列和數學期望Eξ；
(2)假設你是果園的決策者，你選擇哪條公路運送水果有可能讓果園獲得的毛利潤更多？
(注：毛利潤＝銷售商支付給果園的費用－運費).
解：(1)汽車走公路1時，不堵車時果園獲得的毛利潤ξ＝20－1.6＝18.4萬元
堵車時果園獲得的毛利潤ξ＝20－1.6－1＝17.4萬元
∴汽車走公路1是果園獲得的毛利潤ξ的分布列為

ξ

18.4

17.4

P

                                                                ……3'
∴Eξ＝18.4×＋17.4×＝18.3萬元                             ……5'
(2)設汽車走公路2時果園獲得的毛利潤為η
不堵車時果園獲得的毛利潤η＝20－0.8＋1＝20.2萬元
堵車時果園獲得的毛利潤η＝20－0.8－2＝17.2萬元
∴汽車走公路1時果園獲得的毛利潤ξ的分布列為

η

20.2

17.2

P

                                                                ……8'
∴Eη＝20.2×＋17.2×＝18.7萬元                              ……10'
∵Eξ＜Eη
∴應選擇公路2運送水果有可能使得果園獲得的毛利潤更多.           ……12'

20、(湖南省衡陽市八中2009屆高三第三次月考試題)2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮。現有8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數量如下表：

福娃名稱

貝貝

晶晶

歡歡

迎迎

妮妮

數量

1

2

3

1

1

    從中隨機地選取5只。

   （1）求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率；

   （2）若完整地選取奧運會吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推。設ξ表示所得的分數，求ξ的分布列和期望值。

解：（1）選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率

   （2）

       ξ的分布列為：

ξ

100

80

60

40

P

21、(廣東省高明一中2009屆高三上學期第四次月考)盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求下列事件的概率：

（1）取到的2只都是次品；

（2）取到的2只中正品、次品各一只；

（3）取到的2只中至少有一只正品。

解：從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有6²=36種不同取法……………　2分

   （1）取到的2只都是次品情況為2²=4種，因而所求概率為…………4分

（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率為　…………8分

　（3）由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品”的對立事件，因而所求概率為　　　　…………12分

22、(2009年廣東省廣州市高三年級調研測試)一廠家向用戶提供的一箱產品共10件，其中有2件次品，用戶先對產品進行抽檢以決定是否接收．

抽檢規則是這樣的：一次取一件產品檢查（取出的產品不放回箱子），若前三次沒有抽查到次品，

則用戶接收這箱產品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產品.

（1）求這箱產品被用戶接收的概率；

（2）記抽檢的產品件數為，求的分布列和數學期望．

解：（1）設“這箱產品被用戶接收”為事件，.             ……3分

即這箱產品被用戶接收的概率為．                                  ……4分

（2）的可能取值為1，2，3．                                            ……5分

=，                                                

=，                                            

=，                                            ……8分

∴的概率分布列為：

1

2

3

                 ……10分

∴=．                             ……12分

23、(廣西桂林十八中06級高三第二次月考)甲、乙、丙三人按下面的規則進行乒乓球比賽: 第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立.求：

（1）打滿3局比賽還未停止的概率；

（2）比賽停止時已打局數的分別列與期望E.

解：令分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.

　　　�。á瘢┯瑟毩⑹录�同時發生與互斥事件至少有一個發生的概率公式知，打滿3局比賽還未停止的概率為

…………………………4分

　　　　（Ⅱ）的所有可能值為2，3，4，5，6，且……………………………5分

　　　　　　　……9分

          　　　故有分布列

2

3

4

5

6

P

..............10分

 從而（局）……..12分

24、(河南省實驗中學2008-2009學年高三第一次月考)某汽車駕駛學校在學員結業前，對學員的駕駛技術進行4次考核，規定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需參加下次考核。若學員小李獨立參加每次考核合格的概率依次組成一個公差為的等差數列，他參加第一次考核合格的概率不超過，且他直到參加第二次考核才合格的概率為。

（1）求小李第一次參加考核就合格的概率；

（2）求小李參加考核的次數的分布列和數學期望。

解：（1）根據題意，得 ，解得或．

∵，∴，即小李第一次參加考核就合格的概率為………（5分）

（2）由（1）的結論知，小李四次考核每次合格的概率依次為，

∴，，……（8分）

    ………………………………（10分）

∴小李參加測試的次數的數學期望為

………（12分）

25、(廣東省湛江師范學院附中2009年高考模擬試題)某工廠在試驗階段大量生產一種零件.這種零件有A、B兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響.若有且僅有一項技術指標達標的概率為，至少一項技術指標達標的概率為．按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的零件為合格品.

（Ⅰ）求一個零件經過檢測為合格品的概率是多少？

（Ⅱ）任意依次抽出5個零件進行檢測，求其中至多3個零件是合格品的概率是多少？

（Ⅲ）任意依次抽取該種零件4個，設表示其中合格品的個數，求.

解：（Ⅰ）設、兩項技術指標達標的概率分別為、            …………2分

由題意得：                                     …………5分

解得：或，∴.  

即，一個零件經過檢測為合格品的概率為.                            …………7分

（Ⅱ）任意抽出5個零件進行檢查，其中至多3個零件是合格品的概率為

                                     …………10分

（Ⅲ）依題意知～B(4,)，.                         …………13分

26、(廣東省湛江市實驗中學2009屆高三第四次月考)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽。

   （Ⅰ）所選3人中至少有1名女生的概率；

   （Ⅱ）設隨機變量表示所選3人中的女生人數。寫出的分布列并求出的數學期望。

（Ⅰ）解：設所選三人中至少有1名女生的事件為A …………1分

P(A)= …………4分

（Ⅱ）ξ可能取的值為0，1，2，  …………5分

P（ξ=k）=   k=0，1，2  …………8分

ξ的分布列為

ξ   0    1    2

P              …………10分

∴Eξ=   ……………………12分

27、(福建省莆田第四中學2009屆第二次月考)甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率，

  （I）記甲擊中目標的次數為ξ，求ξ的概率分布及數學期望Eξ；

  （II）求乙至多擊中目標2次的概率；

  （III）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率．

解：（I）P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，

P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，

ξ的概率分布如下表：

ξ

0

1

2

3

P

Eξ＝, （或Eξ=3?=1.5）；

  （II）乙至多擊中目標2次的概率為1－=；

  （III）設甲恰比乙多擊中目標2次為事件A，甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次為事件B₁，甲恰擊中目標 3次且乙恰擊中目標 1次為事件B₂，則A＝B₁＋B₂，B₁，B₂為互斥事件．

  所以，甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為.

28、(湖北省百所重點中學2009屆高三聯考)2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮�，F有8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數量如下表：

福娃名稱

貝貝

晶晶

歡歡

迎迎

妮妮

數量

1

2

3

1

1

    從中隨機地選取5只。

   （1）求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率；

   （2）若完整地選取奧運會吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推。設ξ表示所得的分數，求ξ的分布列和期望值。

解：（1）選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率

                                ………………4分

   （2）                           ………………5分

                             ………………9分

ξ的分布列為

ξ

100

80

60

40

P

                                                      ………………11分

                          ………………13分

29、(江蘇省贛榆高級中學2009屆高三上期段考)連續投擲一枚質量均勻的硬幣，10次中出現正面的次數記為.

(1)求隨機變量的數學期望；

(2)求10次投擲中出現正面次數多于出現背面次數的概率.

解：（1）由題意可知，故；

（2）,     答：略.

30、(四川省萬源市第三中學高2009級測試)2008年5月12日四川省汶川發生8．0級地震，通往災區的道路全部中斷。5月12日晚，抗震救災指揮部決定從水路（一支隊伍）．陸路（東南西北四個方向各一支隊伍）．空中（一支隊伍）同時向災區挺進。已知在5月13日，從水路抵達災區的概率是，從空中抵達災區的概率是，從陸路每個方向抵達災區的概率都是．（Ⅰ）求在5月13日從水路或空中有隊伍抵達災區（即從水路和空中至少有一支隊伍抵達災區）的概率；（Ⅱ）求在5月13日至少有4支隊伍抵達災區的期望。

解（Ⅰ）設“隊伍從水路抵達災區”為事件A，“隊伍從空中抵達災區”為事件B，

∴5月13日從水路或空中抵達災區的概率為

      ――――――――――5分

答：5月13日從水路或空中有隊伍抵達災區的概率為。    ――――――――――6分

（Ⅱ）設5月13日抵達災區的隊伍數為，則

,          ――――――――――7分

,                 ――――――――――8分

,                                  ――――――――――9分

∴．             ――――――――――11分

答：5月13日至少有4支隊伍抵達災區的期望為。 ――――――――――12分

31、(天津市漢沽一中2008~2008學年度第五次月考)學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現從中選2人．設為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數，且．

(I) 求文娛隊的人數；

(II) 寫出的概率分布列并計算．

解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數是

（7-2 x）人．

 (I)∵，

∴．……………………………………3分

即．

∴．

∴x=2．           ……………………………………5分

故文娛隊共有5人．……………………………………7分

(II) 的概率分布列為

0

1

2

P

，……………………………………9分

，……………………………………11分

∴ =1．   …………………………13分

32、(湖北省武漢市第四十九中學2009屆高三年級十月月考)盒中有大小相同的10個球，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為 5的球3個，第一次從盒中任取一個球，放回后第二次再任取一球（假設取到每球的可能性都相等），記第一次與第二次取到球的標號之和為。

（1）求隨機變量的分布列；

（2）求E

解：（1）

ξ

2

3

4

6

7

10

P

……9分

（2） ………12分

33、(山西省太原五中2008―2009學年度高三上學期10月月考)某項選拔共有兩輪考核.第一輪筆試，設有五道選擇題，每題答對得20分，答錯或不答得0分，總分達到60分者進入第二輪考核，否則即被淘汰；第二輪面試，面試成績服從正態分布，兩輪總分達到150分及以上者即被錄用.已知某選手能正確回答第一輪的每一道題的概率都是，且兩輪中的各題能否正確回答互不影響，求該選手：

（I）筆試成績ξ的分布列與數學期望；

（II）被錄用的概率（參考數據：在標準正態分布中）

18．解（I）（k=0，1，2，3，4，5）

分布列：（算對一個概率給1分）

0

20

40

60

80

100

P

數學期望為………………………6分

（II）∵面試成績η服從正態分布，兩輪總分達到150分者即被錄用.

∴被錄用的概率為

P(ξ=60)?P(η≥90) + P(ξ=80)?P(η≥70)+P(ξ=100)?P(η≥50) …………………9分

=[1-φ(3)]+ [1-φ(1)]+ [1-φ(-1)] …………………11分

=

 被錄用的概率為…………………12分

34、(四川省成都七中2009屆高三零診模擬考試)某人上樓梯,每步上一階的概率為,每步上二階的概率,設該人從臺階下的平臺開始出發,到達第n階的概率為P_n.

                       (I)         求P₂;

                   (II)         該人共走了5,求該人這5步共上的階數x的數學期望.

解:(Ⅰ)P₂=´+=                                         6分

(Ⅱ)該人共走五步,共上的階數x取值為5,6,7,8,9,10,的分布列為:

x

5

6

7

8

9

10

p

()⁵

()()⁴

()²()³

()³()²

()⁴()

()⁵

Ex=                                      6分

35、(四川省成都市新都一中高2009級數學理科12月考試題)高三（1）班的一個研究性學習小組在網上查知，某珍稀植物種子在一定條件下發芽成功的概率為，該研究性學習小組又分成兩個小組進行驗證性實驗，

（Ⅰ）第一小組做了5次這種植物種子的發芽實驗（每次均種下一粒種子），求他們的實驗至少有3次成功的概率；

（Ⅱ）第二小組做了若干次發芽實驗（每次均種下一粒種子），如果在一次實驗中種子發芽成功就停止實驗，否則將繼續進行下次實驗，直到種子發芽成功為止，但發芽實驗的次數最多不超過5次，求第二小組所做種子發芽實驗的次數的概率分布列和期望

解：（I）該事件為5次獨立重復試驗發生3次或4次或5次

    ∴P=P₅(3)+P₅(4)+P₅(5)  =  …6分          

（II）的可能取值分別為1，2，3，4，5   ………7分

分布列如下：

1

2

3

4

5

P

……10分

E=      …………12分

36、(四川省綿陽市高中2009級第二次診斷性考試)在2008年北京奧運會羽毛球女單決賽中，中國運動員張寧以2∶1力克隊友謝杏芳，蟬聯奧運會女單冠軍.羽毛球比賽按“三局兩勝制”的規則進行(即先勝兩局的選手獲勝，比三結束)，且各局之間互不影響.根據兩人以往的交戰成績分析，謝杏芳在前兩局的比賽中每局獲勝的概率是0.6，但張寧在前兩局戰成1∶1的情況下，在第三局中憑借過硬的心理素質，獲勝的概率為0.6，若張寧與謝杏芳在下次比賽中相遇.
(1)求張寧以2∶1獲勝的概率；
(2)設張寧的凈勝局數為ξ，求ξ的分布列及Eξ.
解：(1)張寧以2∶1獲勝，意味著前兩局戰成1∶1，第三局張寧勝.
P(1)＝C₂¹×0.6×(1－0.6)×0.6＝0.288
(2)ξ的所有可能值為－2，－1，1，2，
P(ξ＝－2)＝0.6×0.6＝0.36，
P(ξ＝－1)＝C₂¹×0.6×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.192，
P(ξ＝1)＝C₂¹×0.6×(1－0.6)×0.6＝0.288，
P(ξ＝2)＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16，
∴ξ的分布列為

ξ

－2

－1

1

2

P

0.36

0.192

0.288

0.16

    ∴Eξ＝－2×0.36＋(－1)×0.192＋1×0.288＋2×0.16＝－0.304           12'

37、(蒼山誠信中學?理科)已知10件產品中有3件是次品.

    （I）任意取出3件產品作檢驗，求其中至少有1件是次品的概率；

    （II）為了保證使3件次品全部檢驗出的概率超過0.6，最少應抽取幾件產品作檢驗？

(解)（1）任意取出3件產品作檢驗，全部是正品的概率為…………3分

至少有一件是次品的概率為……………………6分

（2）設抽取n件產品作檢驗，則3件次品全部檢驗出的概率為………8分

由

整理得：，……………………10分

   ∴當n=9或n=10時上式成立.…………11分

答：任意取出3件產品作檢驗，其中至少有1件是次品的概率為為了保證使3件次品全部檢驗出的概率超過0.6，最少應抽取9件產品作檢驗.………………12分

38、(臨沂一中?理科)在2006年多哈亞運會中，中國女排與日本女排以“五局三勝”制進行決賽，根據以往戰況，中國女排每一局贏的概率為.已知比賽中，第一局日本女排先勝一局，在這個條件下，

   （Ⅰ）求中國女排取勝的概率；

（Ⅱ）設決賽中比賽總的局數為，求的分布列及.（兩問均用分數作答）

(解)（Ⅰ）解：中國女排取勝的情況有兩種：

     ①中國女排連勝三局;

②中國女排在第2局到第4局中贏兩局，且第5局贏.……………………2分

         故中國女排取勝的概率為

          …………………………………………………4分                                                                                                  

故所求概率為………………………………………………………………5分                                                     

（Ⅱ）比賽局數

      則

       ………………8分

       的分布列為:

3

4

5

P

……………………10分

    .……………………………………………12分 

39、(臨沂高新區?理科)甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內任何時刻到達是等可能的．

    （1）如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時，求它們中的任何一條船 不需要等等碼頭空出的概率；

    （2）如果甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間是2小時，求它們中的任何一條船 不需要等待碼頭空出的概率．

(解)（1）設甲、乙兩船到達時間分別為x、y，則O≤x<24，0≤y<24且y－x>4或y－x<－4

作出區域      4分

設“兩船無需等待碼頭空出”為事件A，則

P（A）＝        6分

（2）當甲船的停泊時間為4小時，兩船不需等待碼頭空出，則滿足x－y>2．                 8分

設在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區域．

          10分

P（B）＝12分

40、(重慶市萬州區2009級高三第一次診斷性試題)2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮.現有8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數量如下表：

福娃名稱

貝貝

晶晶

歡歡

迎迎

妮妮

數量

1

1

1

2

3

 從中隨機地選取5只.

（I）求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率；

（II）若完整地選取奧運會吉祥物記10分；若選出的5只中僅差一種記8分；差兩種記6分；以此類推. 設ξ表示所得的分數，求ξ的分布列及數學期望.

解：（Ⅰ）選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率

                         ………………5分

（Ⅱ）                      …………………6分           

                                   …………10分

ξ的分布列為：

ξ

10

8

6

4

P

                       …………13分

41、(廣東省汕頭市潮南區08－09學年度第一學期期末高三級質檢)把一顆骰子投擲兩次，第一次出現的點數記為a,第二次出現的點數記為b，給定方程組

（1）       試求方程組只有一解的概率；

（2）       求方程組只有正數解（x>0,y>0）的概率。

解：（1）當且僅當時，方程組有唯一解.因的可能情況為三種情況………………………………3分

        而先后兩次投擲骰子的總事件數是36種，所以方程組有唯一解的概率

          ……………………………………………………………………6分

（2）因為方程組只有正數解，所以兩直線的交點在第一象限，由它們的圖像可知

          ………………………………………………………………9分

解得（a,b）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），所以方程組只有正數解的概率………………………………………………………………………13分

42、(重慶奉節長龍中學2009年高考數學預測卷二)兩個人射擊，甲射擊一次中靶概率是p₁，乙射擊一次中靶概率是p₂，已知 , 是方程x²－5x + 6 = 0

的根，若兩人各射擊5次，甲的方差是 ．

(1) 求 p₁、p₂的值；

(2) 兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目的，則完成目的的概率是多少？

(3) 兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目的，則完成目的的概率是多少？

解析：(1) 由題意可知 x_甲 ~ B(5, p₁)，

∴    Dx_甲 = 5p₁ (1－p₁) = Þ p₁²－p₁ + = 0 Þ p₁ = ．2分；又 ?= 6，∴ p₂ = ．  3分

(2) 兩類情況：共擊中3次概率

C ( ) ² ( ) ⁰×C ( ) ¹ ( ) ¹ + C ( ) ¹ ( ) ¹×C ( ) ² ( ) ⁰ = ；

共擊中4次概率C ( ) ² ( ) ⁰×C ( ) ² ( ) ⁰ = ． 6分

所求概率為 + = ．  8分

(3) 設事件A, B分別表示甲、乙能擊中．∵ A, B互相獨立（9分），∴ P(`A?`B ) = P(`A ) P(`B ) = (1－P(A) )(1－P(B) ) = (1－p₁)(1－p₂) = ×= （11分），∴ 1－P(`A?`B ) = 為所求概率． 12分

評析：這一類型的試題在連續幾年的新課程卷都出現了，重點考查了分類討論的數學思想，體現了《考試說明》所要求的創新意識和實踐能力以及運用數學知識解決實際問題的能力．該題仍然是常規題，要求考生耐心細致，審題能力較強，并善于利用材料進行分析說明．

43、（浙江省杭州市2009）19．（本題14分）設集合，，．用隨機變量表示方程實根的個數（重根按一個計），若．

（1）求方程有實根的概率；

（2）求的分布列和數學期望．

解：（1）∵

當時，；                      　　      --- 2分

當時，．基本事件總數為14．  　    --- 3分

記“方程有實根”為事件A，

若使方程有實根，則，即，共6種．　  --- 2分

∴．                           　　     --- 2分

（2）的分布列

0

1

2

P

--- 3分

.                      　　　　          　 --- 2分

44、（溫州市部分省重點中學2009理）

     在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中,武警官兵準備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐.已知只有5發子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨立的,且命中的概率都是.

（Ⅰ）求油罐被引爆的概率;

（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊,設射擊次數為.

求的分布列及.( 結果用分數表示)

解:

ξ

2

3

4

5

P

45、（溫州市部分省重點中學2009）

現有8名數理化成績優秀者，其中數學成績優秀，物理成績優秀，化學成績優秀．從中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽．

（Ⅰ）求被選中的概率；

（Ⅱ）求和不全被選中的概率．

解：（Ⅰ）從8人中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名，

其一切可能的結果組成的基本事件空間

{，，

，，，

，，，

}

由18個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，

因此這些基本事件的發生是等可能的．

用表示“恰被選中”這一事件，則

{，，， ，，，，，}

事件由9個基本事件組成，因而．………………7分

（Ⅱ）用表示“不全被選中”這一事件，

則其對立事件表示“全被選中”這一事件，

由于{}，事件有2個基本事件組成，

所以，

由對立事件的概率公式得．………………14分

46、（浙江省嘉興市理）

    一袋中有m(m∈N^*)個紅球，3個黑球和2個自球，現從中任取2個球．

   （Ⅰ）當m=4時，求取出的2個球顏色相同的概率；

   （Ⅱ）當m=3時，設ξ表示取出的2個球中黑球的個數，求ξ的概率分布及數學期望；

   （Ⅲ）如果取出的2個球顏色不相同的概率小于，求m的最小值．

解：(1)設“取出的2個球顏色相同”為事件A

       P(A)=                            4(分)

(2)

ξ

0

1

2

P

    7(分)

Eξ=0×+1×+2×=                           9分

(3)設“取出的2個球中顏色不相同”為事件B，則

P(B)=                     11分

     ∴x²-6x+2>0

    ∴x>3+或x<3-，x的最小值為6．                14分

47、（寧波市理）（本題14分）在一個盒子中，放有標號分別為，，的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為、，記．

（1）求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（2）求隨機變量的分布列和數學期望．

（Ⅰ）、可能的取值為、、，

，，

，且當或時，．   …………4分

因此，隨機變量的最大值為．

有放回抽兩張卡片的所有情況有種，

．        …………………………………………7分

（Ⅱ）的所有取值為．…………………………………8分

時，只有這一種情況，

 時，有或或或四種情況，

時，有或兩種情況．

，，．      …………11分

則隨機變量的分布列為：

………………………………………………………………12分

因此，數學期望．…………14分

48、（臺州市2008學年第一學期理）（本題滿分14分）某商場在七月初七舉行抽獎促銷活動，要求一男一女參加抽獎，抽獎規則是:從裝有3個白球和2個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回. 若1人摸出一個紅球得獎金10元，1人摸出2個紅球得獎金50元. 規定:一對男女中男的摸一次，女的摸二次.令表示兩人所得獎金總額.

（1）求=20時的概率;

（2）求的數學期望.

對應的事件為：男的摸到紅球且女的一次摸到紅球，

               ………………5分

0

10

20

50

60

P

=16.8

49、（浙江省09年高考省教研室第一次抽樣測試數學試題（理））甲從裝有編號為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一張，乙從裝有編號為2，4的卡片的箱子中任意取一張，用，分別表示甲、乙取得的卡片上的數字.（1）求概率）；（2）記，求的分布列與數學期望.

解析：（1）記“”為事件A， （）的取值共有10種情況，滿足的（）的取值有以下4種情況：（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），所以；

（2）隨機變量的取值為2，3，4，5，的分布列是

2

3

4

5

P

所以的期望為

   （Ⅰ）求選出的4 人均為選《矩陣變換和坐標系與參數方程》的概率；

   （Ⅱ）設為選出的4個人中選《數學史與不等式選講》的人數，求的分布列和

    數學期望．

解：（Ⅰ）設“從第一小組選出的2人均考《矩陣變換和坐標系與參數方程》”為事件  

    A，“從第二小組選出的2人均考《矩陣變換和坐標系與參數方程》”為事件B.由于事

     件A、B相互獨立， 且,    .……4分

 所以選出的4人均考《矩陣變換和坐標系與參數方程》的概率為

 …………………………… 7分

 （Ⅱ）設可能的取值為0,1,2,3.得

   ,,

  …………… 11分

    的分布列為

0

1

2

3

P