1．對數集因生產和科學發展的需要而逐步擴充的過程進行概括（教師引導學生進行簡明扼要的概括和總結）自然數 →整數→有理數→無理數→實數

相關鏈接：數的發展里程

2．提出問題

    我們知道，對于實系數一元二次方程，沒有實數根．我們能否將實數集進行擴充，使得在新的數集中，該問題能得到圓滿解決呢？

    3．組織討論，研究問題

    我們說，實系數一元二次方程沒有實數根．實際上，就是在實數范圍內，沒有一個實數的平方會等于負數．解決這一問題，其本質就是解決一個什么問題呢？（最根本的問題就是要解決－1的開平方問題．即一個什么樣的數，它的平方會等于－1．）

二、新課內容：

引入新數，并給出它的兩條性質

    根據前面討論的結果，我們引入一個新數，叫做虛數單位，并規定：

    （1）；

    （2）實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍然成立．

    有了前面的討論，引入新數，可以說是水到渠成的事．這樣，就可以解決前面提出的問題（－1可以開平方，而且－1的平方根是）．

    1．提出復數的概念

    根據虛數單位的第（2）條性質，可以與實數b相乘，再與實數a相加．由于滿足乘法交換律及加法交換律，從而可以把結果寫成這樣，數的范圍又擴充了，出現了形如 的數，我們把它們叫做復數．其中a叫做這個復數的實部，b叫做虛部

全體復數所形成的集合叫做復數集，一般用字母C表示，顯然有：

(1)N*NZQRC．(2)復數a+bi(a,b為實數)

鞏固練習：

例1、下列數中，哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數？并分別指出這些復數的實部與虛部各是什么？4，2-3i,0,-+,5+,6i（教材P104例1）

練習、判斷下列命題是否正確：

（1）若a、b為實數，則Z=a+bi為虛數

（2）若b為實數，則Z=bi必為純虛數

（3）若a為實數，則Z= a一定不是虛數

例2、 實數m分別取什么值時，復數z＝m(m-1)＋(m-1)i是(1)實數？(2)虛數？(3)純虛數？ (教材P104例2)

練習：實數m分別取什么值時，復數z＝m²+m-2＋(m²-1)i是(1)實數？(2)虛數？(3)純虛數？

2．提出兩個復數相等的定義，即兩個復數相等的充要條件是它們的實部與虛部分別對應相等．也就是

由此容易得出：

例3、  已知x+y+(x-2y)i=2x-5+(3x+y)i,求實數x與y．

分析：因為x，y∈R，所以由兩個復數相等的定義，可列出關于x，y的方程組，解這個方程組，可求出x，y的值．

練習：教材P105---練習4

思考：兩個復數若不全是實數，能否比較大��？

最簡單的虛數單位i和0的大小如何？（若i>0，則i²>0,-1>0不成立；若i<0,則i²>0,-1>0不成立。這樣兩個復數只要不全是實數，就不能比較大小。）

例4、對于實數x，是否存在實數a，使3x²+(x-a+1)²i>27+(x²+a-ax-1)i，若存在，求出a的范圍集合；否則說明理由

解：x-a+1=0=x²+a-ax-1,且3x²>27, a<-2或a>4

三、歸納總結

（1）、虛數單位i的引入；

（2）、復數的代數形式：；

（2）、復數的有關概念：虛數，純虛數，實部、虛部、復數相等。

[補充習題]

1、復數z=sin2x-i(1-cos2x)是純虛數，則實數x=____________

2、設z=log₂(m²-3m-3)+ilog₂(m-3),若其實部的范圍是(0,1)，則實數m的范圍是___________

3、關于x的方程x²-(2i-1)x+2p-i=0有實數根，求實數p的值或范圍

[答案]

1、kπ+,k∈Z

2、(4,)

3、p=1/8

備課資料：

        數系的發展歷程

數的概念是從生活、生產、科研等社會實踐中發展起來的，每一種數的發展均有兩個方向：一是其內涵的增容、規范及應用的日臻完善的縱向過程，二是對其出現的不可調和的矛盾而衍生新數的橫向發展，在這種縱橫交錯中，數一步步走向系統完整。

一，正整數在勇往直前中成熟

人類最初只有“無”與“有”這兩個描寫一天有無獵物或是否見到同伴的詞。后來，從“有”中分化出“多”與“少”等模糊的量詞。由于具體記數的需要，人們開始用自己的手指，伸出一個手指去說明有一只兔子或抓住一只羔羊，正整數1就這樣誕生了，由1而有2、3、4……；為了表示更多的數，人們借助于用具來體現，由于用具選擇的不同，體現的規則也不盡相同，從而形成不同的位值數，如：我國以手指記數，指頭至十完結，十之后借助于繩子打結，形成“結繩記數”的十進制規則，后逐漸以“結繩”與手指共同記數，成為世界上最早采用十進制的國家；古希臘則“以石記數”，沿用古巴比倫的六十進位制；而中美洲的馬雅人采用二十進位制，等。

現在國際上記數符號――數字，為阿拉伯數字，實質是文字誕生較早的印度首先發明和使用的，后傳入阿拉伯，十三世紀才由歐洲人將之譯成拉丁文而傳入歐洲。所以，在歐洲人看來，數字來自阿拉伯而稱阿拉伯數字，但在譯制過程中，不同時代隨社會文明的進步，代碼及符號又不盡相同。至1522年，英國的Tonstall所寫的書中，才形成現在這種數字寫法。

這樣，加上一些運算規則，形成了正整數體系的雛形，系統的定義則是在公理化思想、集合概念都出現后，由意大利的Peano于1891年在他的論文《關于數的概念》中提出的，稱自然數公理（Peano說的自然數即正整數，不含數字0），其要點是五條公理：①1是自然數；②1不是任何其他自然數的直接后繼者；③每個自然數a都有一個后繼者；④若a 的后繼者與b的后繼者相等，則a與b相等；⑤若一個自然數組成的集合S含有1，又若當S含有任意數a時，它一定含有a的后繼者，則S含有全體自然數。這樣，正整數才真正走到成熟。

二，分數、負數、零的引入，使數在纖纖細步的增容中完成量變的積累

隨社會的發展，分配及更精確丈量土地的需要，正整數已不夠用，人們引進了分數。世界上最早有關分數的記載，要數埃及的紙草文書，但遲至公元前1650年的Ahmes所著的《獲得一切奧秘的指南》，仍將分數化成分子是1再加以計算；我國在公元前100年的《周髀算經》中就有了具體分數的計算，在其后的《孫子算經》及《九章算術》中就明確總結了分數的計算、表示方法，（只不過當時分數的表示方法是分子在上、分母在下、中間無橫線，且帶分數的整數部分又排在最上面）�，F今的分數表示法，遲至1175年中亞西亞的Al-Hassan才在其著作中出現，同時十進制分數西傳過程中與印度文化相結合，如：敘利亞的Al-Battanl于十世紀引入正切、余切時采用了小數，使分數在編譯過程中改進為另一面貌形式。

負數及運算法則也是我國最先引入的：在《九章算術》中，以收入、余錢、入帳為正，付款、不足、減掉為負，并系統闡述了加減的運算法則，因該書是對前人經驗的總結，因此實質負數及其運算規則比它要早些；至1299年，朱世杰編的《算學啟蒙》中有了負數乘除法的法則。歐洲對負數的處理是由意大利的Fibonacci提出后又不敢承認，一段時間內將之視作“假數”或“荒誕的數”，至Bcmbell才給出明確的定義，Girdrd將負數與正數等量齊觀，并用“-”表示負數，一直沿用至今。

三，跌宕起伏的無理數

遠在公元前500年左右，古希臘著名的Pythagores學派就認為：“萬物皆數，數皆可歸為整數或整數之比，此比稱公度比”，即現在的正有理數（因當時歐洲還沒有負數及零的概念）；但在公元前五世紀時，該學派的一名成員Hippasus發現：“正方形的對角線與其一邊無公度比”，這一發現使該學派成員大為驚慌――居然有人敢反對偉大的Pythagores！在爭論和大家的憤怒聲討中，犯了眾怒的Hippasus被拋入大海。

Pythagores     Descartes

Hippasus雖然死了，但他的“無公度比”的觀念并沒有隨之消亡。Plato學派的前驅Theodorus又證明了、、也沒有公度比，可惜這一學派又不愿接受無理數這一新概念。之后的Eudoxus及Euclid是通過“量”概念的引入，用幾何方法處理這種“無公度比”（用現在的話說，就是找近似的有理數來代替這個數），這又基本上將無理數抹殺。在東方的印度，也同樣在十二世紀仍將無理數當作有理數加以處理。直至十九世紀的1872年，德國的Dedekind才將之分離出來，為區分以往的數而命名為無理數，將原有的可以化為整數比的數稱有理數，并將無理數與有理數統稱實數，創建了實數理論；之后的1874年，德國的Cator驗證了Dedekind理論的正確性，并證明了“實數與數軸上點一一對應”的理論，至此，完成了真正意義上的實數理論。

四，無聊游戲中出現的復數

人們最早在研究方程時，認為x²+1=0之類的方程必定無解，由于習慣用歷史來解釋現實與告訴未來，所以人們也就習慣地將“其有解”視作是永不可能的。1545年，意大利的Cardano在其著作《大術》中討論了這樣的問題：“是否可以將十分成二部分，使它們的積等于40”，用現在的話即解方程x²-10x+40=0，他大膽提出了兩個解5±(只不過當時不這樣記)，Cardano將之稱作“詭辯量”，既然是詭辯量，自然在當時也將之視作一種無聊的游戲（它標志著虛數的誕生），正是這一游戲，27年后，意大利的Bembeli在其《代數學》中，用之完整地得到了一元三次方程的求根公式。

但，人們的觀念并沒有隨之帶來變化。如：Descartes在1637年的《幾何學》中，認為它非實在，故起名為imaginary  number（虛數）！大科學家Newton也不承認它，繼續把它當作一種無聊的游戲；Leibniz更是發揚這一傳統思想，稱：虛數是介于存在與不存在間的無聊的兩棲物。

至1747年，法國的D^/Alembert才將虛數與實數并列看待，并將實數與虛數統稱為數（當時的實數實質指的是有理數）；1777年，瑞士的Euler系統地建立了復數理論，并首次用i表示虛數單位，發現了復指數函數與三角函數間關系；至1801年，德國的Guass系統地使用了i這個記號及運算法則，將實數與虛數統稱復數，并將復數與幾何建立了對應關系，復數理論走向了應用。

五，計算機的問世，使“二進制”這一古文明復活

自然界中存在著大量截然相反的狀態，如：有與無、大與小、高與底、通與斷，既然用十個手指可以用來表示十進制數，那么用兩手或兩腳也可以記數，這樣就形成了二進制記數法。在我國周朝的《易經》中就記載了用不斷的橫“―”和斷開的橫“--”表示兩種相反的狀態，如果將“―”記作現在的1，而“--”視作現在的0，其實就形成了現在的二進制，根據各種文獻考證，這一符號誕生于原始社會伏羲時代的“八卦”。但由于二進制表示數很冗長，人們并沒有在數學中引起重視，在我國，它卻成為算命的理論基礎壯大起來。

1698年，德國的Leibniz對中國傳去的“八卦”產生了濃厚的興趣，他預言：這將對科學研究非常重要，并提出了用機器代替人進行邏輯思維活動的設想，為此他還寫了一封熱情洋溢的信給當時的康熙皇帝，希望與中國學者共同研究八卦，進行文化交流。但當時的“天朝大國”閉關自守，對之自然是“不屑一顧”。

至1847年，英國的Boole-George發表了《邏輯學的數學分析》，緊接著于1854年他又發表《思維規律》，建立了邏輯代數（俗稱Boole代數），但這一理論并沒有引起人們的重視；直到1936年，美國麻省理工學院的Shannon將邏輯代數用于電子電路后，人們開始認識到：它是電路設計的理論根據和主要分析手段，緊接著于1946年，第一臺電子計算機問世，二進制被用來作為計算機的基本數而引起人們的重視；又為解決它表示數太過冗長的致命弱點，開發出八進制、十六進制等等。這樣，數沖破了十進制原有的包圍，形成了應用數學的燎原之勢。

總之，數的發展歷程基本呈現：出現早、承認慢、系統理論互關聯的特點。

附錄      數的發展歷程一覽表

年代

對應中國年代

國家

主       要         成            就

舊石器晚期

伏羲時代

中國

八卦圖出現，標志著數與二進制的誕生

-4200~-2200

黃帝族成契時代~唐堯起時期

中國

象形字誕生，有《洛書》《河圖》數學文獻

巴比倫

出現以石記數及六十進位制

埃及

象形字出現

-1850

夏槐王朝

埃及

紙草文書中有了分數記載

-1650

夏發王朝

埃及

Ahmes紙草文書中，將分數分子化為1進行計算

-600

周定王5年

巴比倫

泥版文書中以“□”代表零

-400左右

周安王2年

希臘

Hippasus提出了有無理數存在

-300

周赦王15年

希臘

Euclid《幾何原本》用近似有理數取代無理數

-100

漢武帝天漢元年

中國

《周髀算經》記載了具體分數的計算

月1世紀

西漢

美國

印第安人馬雅族用“□”表示零

100-200

東漢

中國

《九章算術》《孫子算經》含有了分數的運算法則及負數的概念

850

唐宣宗大中4年

印度

Mahavira寫成《算術精要》，提出零的運算法則

920

梁末帝貞明5年，契丹太祖神冊5年

敘利亞

Al-Battanl引入小數

1299

元成宗大德3年

中國

朱世杰《算學啟蒙》有了負數的運算法則

1522

明世宗嘉靖元年

英國

Tonstall首用阿拉伯數字

1545

明世宗嘉靖24年

意大利

Cardana引入詭辯量（復數）

1572

明隆慶6年

意大利

Bcmbelli用復數得出一元三次方程的通解

1585

明萬歷13年

比利時

Stevin《論十進制》出版

1620

明泰昌元年

荷蘭

Girard用“-”表示負數

1637

清崇德2年，明崇禎10年

法

Descartes命名虛數imaginary  number

1689

清康熙28年

德

Leibniz指出八卦對科學研究很重要，提出了用機器代替人進行邏輯思維活動的設想

1747

清乾隆12年

法

D^/Alem將有理數與虛數同樣看待

1777

清乾隆42年

瑞士

Euler創立復數論

1801

清嘉慶6年

德

Guass系統將復數與幾何建立關系

1847

清道光27年

英

Boole創立邏輯代數

1872

清同治11年

德

Dedekind命名有理數、無理數與實數

1874

清同治13年

德

Cantor證明實數與數軸上點一一對應

1891

清光緒17年

意大利

Peano提出正整數公理

1936

民國25年

美

Shannon將邏輯代數用于電子電路

1946

民國35年

美

第一臺電子計算機問世

3.2復數的四則運算（1）――加減與乘法

[教學目標]

[教學重點]復數的加、減、乘運算

[教學難點]復數范圍內分解因式

[教學過程]

1、復數的加法與多項式加法類似：a+bi+(c+di)=(a+c)+(c+d)i兩個復數的和仍然是一個復數

  容易驗證：復數的加法滿足交換律和結合律，即：z₁+z₂=z₂+z₁,(z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃)

  2、復數減法怎么辦？實數當中，減法是加法的逆運算，即a+b=c,b稱c與a的差，記作c-a

  同理，對于復數，c+di+(x+yi)=a+bi,x+yi也稱a+bi與c+di的差，記作(a+bi)-(c+di)

由加法定義，c+x=a,d+y=b,解得x=a-c,y=b-d,于是a+bi-(c+di)=(a-c)+(c-d)i兩個復數的差仍然是一個復數

  你能總結出復數加減運算的一般規律嗎？

兩個復數相加減，就是把他們的實部和虛部分別進行加減

 練習：教材P108----1

3、復數的乘法：．

指出這一法則也是一種規定，由于它與多項式乘法運算法則一致，因此，不需要記憶這個公式．注意i²=-1

復數乘法也滿足交換律、結合律以及分配律．

練習教材P108---2

思考：a>0時，方程x²+a=0在復數范圍內的解是什么？(±i)

例1、計算求．

此例的解答可由學生自己完成．（a²+b²）

說明：將a-bi稱a+bi的共軛復數，記作=a-bi

思考1：一個復數z，什么情況下是實數？(=z)

思考2：在復數范圍內，你能將x²+y²分解因式嗎？（x²+y²=(x+yi((x-yi))

例2、在復數范圍內分解因式x²+2x+5,

解：x²+2x+5=(x+1)²+4=(x+1+2i)(x+1-2i)

練習:教材P108---3,4,5

，=a-bi，一個復數z是實數=z

[作業]教材P111---1,2,5,6,10

[補充習題]

1、z₁,z₂分別為非零復數，A=z₁+z_2,B=z₁+z₂,問A、B能否比較大小，如果可以，比較它們的大��；不能說明理由

2、判斷和什么關系

[答案]

1、可以比較大小，A≤B

2、相等

備課資料：復數乘法的交換律、結合律及乘法對加法的分配律證明過程

復數的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律．證明如下。

設，，

（1）∵

   ∴        

（2）∵

∴            

（3）∵

∴      

3.2復數的四則運算（2）――乘方與除法

[教學目標]

[教學重點]復數的乘方、除法運算

[教學難點]復數綜合運算

[教學過程]

二、新課內容：

1、復數乘方與實數乘方類似

  z,z₁,z₂是復數，m、n為正整數，則z^mzⁿ=z^m+n,(z^m)ⁿ=z^mn,(z₁z₂)ⁿ=z₁ⁿz₂ⁿ

真正計算時，涉及了i的乘方，計算i¹,i²,i3,i⁴，i⁵的值，由之你能得到什么結論？

結論：i⁴ⁿ=1,i⁴ⁿ⁺¹=i,i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i

例1、設，求證：（1）；（2）

說明：（1）實數集中的乘法公式在復數集中仍然成立；（2）復數的混合運算也是乘方，乘除，最后加減，有括號應先處括號里面的．

變形1：如果，則與還成立嗎？（成立）

變形2：能寫出x³=1的三個根嗎？（1，，）

2、復數的除法：復數的除法也是乘法的逆運算，z₁z=z₂,稱z為z₂和z₁的商 ，記作z=，這樣計算除法的總體思路是變成乘法計算

例2、計算

解：[方法一]設=x+yi,(x,y∈R),于是2-i=(3-4i)(x+yi)=3x+4+(3y-4x)i,,于是

，解得，所以=+i

說明：根據除法是乘法的逆運算，常常將除法變成乘法，根據復數相等得到除法的值。

在學習無理數時，要花簡一個分母含有根式的式子，我們常常進行分母有理化，如=

=2+，相應的復數是否分母也可以實數化呢？又如何進行實數化？

[方法二] ===+i

說明：復數除法的另一方法是分母實數化，實數化的具體技巧是分子、分母同乘分母的共軛復數

例3、求S=的值

解：S=1+2i+3i²+4i³+…………+100i⁹⁹               ①

iS=   i+2i²+3i³+…………+99i⁹⁹+100i¹⁰⁰        ②

①-②得：(1-i)S=1+i+i²+i³+……+i⁹⁹-100=-100=-100,S===-50(1+i)

備用課堂練習：教材P110----練習題

三、小結：i⁴ⁿ=1,i⁴ⁿ⁺¹=i,i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i

 復數乘方與實數乘方類似

復數除法有兩個思路，一根據除法是乘法的逆運算，常常將除法變成乘法，根據復數相等得到除法的值；二是分母實數化，實數化的具體技巧是分子、分母同乘分母的共軛復數

[補充習題]

1、求7-24i的平方根

2、求函數f(n)=()ⁿ+()ⁿ，n∈N的值域

[答案]

1、±(4-3i)

2、{2,0,-2}

3.3復數的幾何意義

      [教學目標]

[教學重點]復數減法法則．

[難點]對復數減法幾何意義理解和應用．

教學過程設計

一、引入新課

實數與數軸上的點一一對應，復數a+bi取決于什么？能否用幾何形式來體現？（板書課題：復數的幾何意義）

二、新課內容

1、復數z=a+bi(a,b∈R)取決于點(a,b),而后者可以通過點的坐標來體現，這樣建立直角坐標系來表示復數的平面稱復平面，x軸稱實軸，反應一個復數的實部，y軸稱虛軸，除原點外表示復數的虛部。

這樣：復數a+bi復平面內的點(a,b)

思考：實數在復平面內的位置落在___________；唇虛數呢？___________

2、點Z(a,b)又與向量對應，這樣得到

這樣，復數z=a+bi說成點Z或向量，相等的向量表示相同的復數

向量的模叫做復數z=a+bi的模，記作|z|或|a+bi|=

思考：|z|,||有什么關系？

練習：教材P130----練習1、2、3、4

例1、設z∈Z，滿足下列條件的點Z的集合圖形是是什么？

(1)|z|=2         (2)2<|z|<3    教材113頁例3

3、復數加減法的有什么幾何意義？

可以根據向量加減法的幾何意義得到。設z=+i（，∈R），z₁=+i（，∈R），對應向量分別為，如圖

由于復數減法是加法的逆運算，設z=（-）+（-）i，所以z-z₁=z₂，z₂+z₁=z，由復數加法幾何意義，以 為一條對角線， ₁為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 ₂所表示的向量OZ₂就與復數z-z₁的差（-）+（-）i對應，如圖．

在這個平行四邊形中與z-z₁差對應的向量是只有向量 ₂嗎？ 

還有 ． 因為OZ₂ Z₁Z，所以向量 ，也與z-z₁差對應．向量 是以Z₁為起點，Z為終點的向量．

概括一下復數減法幾何意義是：兩個復數的差z-z₁與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應．

（1）|z-1-i|=|z+2+i|；（2）|z+i|+|z-i|=4；（3）|z+2|-|z-2|=1．

   思考：對于實數a,b有|ab|=|a||b|,對于向量則有||≤||||,對于復數|z₁z₂|與|z₁||z₂|有什么關系，證明你的結論

[補充習題]

1、復數z₁,z²分別滿足|z₁|=1,|z₂|=|z₂-2-2i|,則|z₁-z₂|的范圍是_______________

2、(1+i)z₁=-1+5i,z₂=a-2-i,|z₁-|<|z₁|,求a的取值范圍

[答案]

1、≥-1，

 2、1<a<7

                                復數的復習

1、概念

⑴形如 的數，我們把它們叫做復數．其中a叫做這個復數的實部，b叫做虛部

⑵兩個復數相等充要條件是它們的實部與虛部分別對應相等

⑶兩個復數，只要含有實數就不能比較大小

   2、復數的運算：

⑴a+bi±(c+di)=(a±c)+(c±d)i，兩個復數相加減，就是把他們的實部和虛部分別進行加減

⑵，與多項式乘法類似

⑶復數的乘方遵循實數的乘方法則，注意i²=-1

⑷復數的除法，一是設出按乘法及復數相等求出，二是進行分母實數化（分子、分母同成分母的共軛復數）

3、復數的幾何意義:

復平面內的點Z(a,b)復數z=a+bi(a,b∈R)向量

⑴兩個復數相加減，就是把他們的實部和虛部分別進行加減

⑵復數模的性質：|a+bi|=，

，，；（）；。

   ⑶共軛復數的性質：=a-bi

 z∈Rz=;虛數z為純虛數z+=0;=, =,=,z=|z|²,

例1、z是虛數，ω=z+,求證：ω∈R的充要條件是|z|=1（教材P118---6）

例2、z₁,z₂,z₃∈C，|z₁|=|z₂|=1,|z₁+z₂|=,求|z₁-z₂|（教材P1118---7）

例3、在復數范圍內解關于a,b,c的實系數一元二次方程ax²+bx+c=0

解：原方程可以化為a(x+)²=-c, (x+)²=，b²-4ac≥0時，x=根為實數；如果b²-4ac<0, x+=±，x=跟為一對共軛虛數

練習1：在復數范圍內解方程x³+8=0

練習2：在復數范圍內分解因式：2x³+16

說明：對于系數為實數的方程，如果有虛數根，其共軛復數也是其一個根