立體幾何的主要內容是空間幾何體，點線面之間的位置關系，空間向量與立體幾何．其考查內容主要是空間兩直線的位置關系、直線與平面的位置關系、兩平面的位置關系；異面直線所成的角、二面角、線面角；幾何體的表面積和體積、空間幾何體的三視圖和直觀圖等.其中線面平行與垂直判定定理與性質定理、面面平行與垂直判定定理與性質定理是考查的重點.對于理科生來說，空間向量作為一種新的快捷有效的工具已被廣泛應用于解決立體幾何綜合問題，是高考的焦點所在. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

一般來說立體幾何有兩個左右的選擇題或填空題和一道解答題，約20-25分，占整章試卷的15％. 選擇題或填空題考查的是空間幾何體和點線面位置關系的基本問題，與三視圖相結合考查是一種典型題型；解答題近年已成為一個較為固定的模式，以多面體（少數為旋轉題）為載體，考查點線面的位置關系的判斷推理，求空間角和距離，求有關最值和體積一般分步設問，難度逐漸增大，但都可以用基本方法解決，理科生要會用空間向量來解決這類問題.

立體幾何的重點內容是柱錐臺球的表面積和體積，空間幾何體的三視圖和直觀圖，平面的基本性質，空間線面位置關系，空間向量的基本問題，空間向量與立體幾何，特別是用空間向量解決立體幾何中的線面平行與垂直的證明，求解異面直線所成的角、二面角、線面角，以及簡單的距離計算．

重點一：空間幾何體的三視圖、體積與表面積

【例1】 一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為直角三角形，邊長如圖所示，那么這個幾何體的體積為（    ）

A.    B.      C.      D.

【分析】根據三個試圖可以知道這個幾何體是一個一條側棱和底面垂直，底面是直角三角形的三棱錐。

【解析】該幾何體是底面兩直角邊長分別是的直角三角形，高為的三棱錐，故其體積為。

【點評】主試圖和側視圖的高就是實際幾何體的高。

【例2】已知一個幾何體是由上下兩部分構成的組合體，其三視圖如下，若圖中圓的半徑為，等腰三角形的腰長為，則該幾何體的體積是   （     ）

A.     B.   C.   D.

【分析】這個空間幾何體是一個圓錐和一個半球組成的組合體，把其中的數量關系找出來按照圓錐和球的體積計算公式計算就行．

【解析】A 這個幾何體是一個底面半徑為，高為的圓錐和一個半徑為的半球組成的組合體，故其體積為．

【點評】空間幾何體的三視圖是課標高考的一個考點，主要考查方式之一就是根據三視圖還原到原來的空間幾何體，并進行有關的計算．

重點二：空間點、線、面位置關系的判斷

【例3 】已知、是不重合的直線，和是不重合的平面，有下列命題：

（1）若，∥，則∥；（2）若∥，∥，則∥；

（3）若，∥，則∥且∥；

（4）若，，則∥

其中真命題的個數是（   ）

Ａ．0   Ｂ．1       Ｃ．2   Ｄ．3

【 分析】（1）是假命題，如果一條直線平行于一個平面，該直線不與平面內所有直線平行，只與部分直線平行；（2）是假命題，平行于同一直線的兩平面的位置關系不確定；（3）是假命題，因為可能為和內的直線，則∥且∥不一定成立；（4）是真命題，垂直于同一直線的兩平面平行。

【解析】選Ｂ。

【點評】本題考查的是有關線面關系命題的真假，所以通過利用定理來解決上述有關問題。

【例4】 在下列關于直線、與平面和的命題中，真命題的是（   ）

Ａ．若且，，則；

Ｂ．若且∥，則；

Ｃ．若且，則∥；

Ｄ．若且∥，則∥

【分析】高考中通常以選擇或填空的形式來考查垂直關系的判定。

顯然是錯誤的；中可在平角內，故∥錯誤；中可在平角內，故∥錯誤；

【解析】選。

【點評】該題主要考查的是想象能力和位置關系。

【例5】正方體中，對角線平面=，和交于點，求證：點、、共線。

【分析】要證明若干點共線問題，只需要證明這些點同在兩個相交平面內即可。

【證明】如圖所示，由∥，則確定平面。

平面，，平面。

又平面=，平面。

在平面與平面的交線上。

又，平面平面=，

，即、、三點共線。

【點評】該題的考向是點共線的問題，一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，這樣就可以根據公理2證明這些點都是在這兩個平面的交線上。

重點三：空間線面位置關系的證明和角的計算

【例6】 是邊長為正方體，計算下列問題：（1）與所成角的大��；（2）若

、、、為對應棱的中點，求，所成的角。

【分析】該題可以采用平移法，即將，平移到和即可。

【解析】（1）連，則∥，所以，則，即與所成角為；

（2）連，，則∥，∥，即為和所成的角，

因為為正三角形，=，即和所成的角為。

          圖2

【點評】掌握此類基本題的解法，也是反映同學們的立體幾何基礎。

【例7】如圖，四棱錐中，⊥底面，   ⊥．底面為梯形，，．，點在棱上，且．

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求證：∥平面；

（3）（理）求平面和平面所成銳二面角的余弦值．

【分析】（1）根據兩個平面垂直的判定定理，尋找一個面對一條直線垂直于另一個平面；（2）根據線面平行的判定定理，尋找線線平行；（3）可以利用傳統的方法作出二面角的平面角解決，也可以利用空間向量的方法解決。

【解析】（1）∵底面，∴．又，，∴⊥平面．           

 又平面，∴平面⊥平面．     

（2）∵底面， ∴,又，∴平面，∴．

在梯形中，由，，得，∴．

又，故為等腰直角三角形．∴．

連接，交于點，則    在中，，∴

又平面，平面，

∴∥平面．

（3）方法一：在等腰直角中，取中點，連結，則．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面．

在平面內，過作直線于，連結，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．           

在中，設，則，，，，

由，可知：∽，∴，代入解得：．

在中，，∴，．

∴平面和平面所成銳二面角的余弦值為． 

方法二：以為原點，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標系．

設，則，，，，．

設為平面的一個法向量，則，∴，解得，∴．          

設為平面的一個法向量，則，

又，，∴，解得，∴． ． ∴平面和平面所成銳二面角的余弦值為．

【點評】求二面角的平面角的方法通常有：一是根據線面垂直關系作出二面角的平面角，通過解三角形解決；二是用空間向量的方法來求解，方法是：求出兩個平面的法向量和，然后利用數量積公式計算出銳二面角，其公式為=，當然考慮到二面角的取值范圍是，所以，二面角的平面角與這兩個平面的法向量的夾角相等或互補。

四 掃雷先鋒

錯誤之一：概念理解錯誤

【例8】空間四邊形ABCD中，AB＝CD且成的角，點 M、N分別為BC 、AD的中點，求異面直線AB和MN成的角．

【錯解】如圖所示，取AC的中點P，連PM，PN，MN。

∵ M、N分別為BC 、AD的中點，∴MP∥AB，且MP= AB ；NP∥CD，且NP=CD。

又AB=CD， 且AB，CD所成的角為， ∴MP=NP且直線MP于NP成角，∴ MPN=，即使等邊三角形， ∴PMN=，即直線AB和MN成的角為．

【剖析】上面的解法遺漏了當直線PM與PN成角，而MPN=的情形，此時直線AB和MN所成角為．為防止遺漏或錯誤，在解題過程中應正確理解定義．

【點評】題目中的錯誤，是同學們最易忽視的，有時看到一例題目，似乎會做，但是，不經過縝密的思考，就會出現“千里之堤，潰于蟻穴”的慨嘆．

錯誤之二：忽視分類討論錯誤

【例9】點Ｍ是線段AB的中點，若A、B到平面的距離分別為4和6，則點M到平面的距離為――――――

【錯解】如圖1，分別過點A、B、M作平面的垂線，，，MH，垂足分別為．

則線段，，MH的長分別為點，A、B、M到平面的距離，由題設知，=4，=6，

 因此，MH=

【剖析】不少同學在解此類問題時，總認為A、B在的同側，只注意檢驗計算是否正確，并沒有發現異側的情況，缺乏分類討論的意識．事實上，如圖2 ，若A、B在異側，則MH=1．

【點評】分類討論是數學中一種重要的思想方法，它在立體幾何中應用非常廣泛．但不少同學不能正確的利用這種思想方法，經常片面地考慮問題，使問題出現漏解．

五 規律總結

1.空間幾何體的三視圖“長對正、高平齊、寬相等”的規律。

2.在計算空間幾何體體積時注意割補法的應用。

3.注意多面體中的特征圖和旋轉體的軸截面在解題的應用。

4.空間平行與垂直關系的關系的證明要注意轉化：線線平行線面平行面面平行，線線垂直線面垂直面面垂直。

5．求異面直線所成的角的方法

（文科）求異面直線所成的角的最關鍵是要找出一個點，把其作為角的頂點，然后把兩條直線“平行平移”過來，這個角就完成了。這個點有時很好找，中點、交點、對稱點等。若用平移轉化煩瑣或無法平移時，可考慮是否異面垂直，即可通過證明垂直的位置關系得到90°的數量關系。

（理科）利用空間向量法：=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）。

6．直線與平面所成的角

（文科）在斜線上找到任意一點，過該點向平面作垂線，找到斜線在該平面上的射影，則斜線和射影所成的角便是直線與平面所成的角。

（理科）直線與平面所成角(為平面的法向量).

7．（理科）二面角

方法一：常見的方法有三垂線定理法和垂面法；

方法二：向量法：二面角的平面角或（，為平面， 的法向量）。

8．（理科）空間距離

（1）點與點的距離、點到直線的距離，一般用三垂線定理“定性”；

（2）給出公垂線的兩條異面直線的距離，先進行論證（先定性），后計算（后定量）；

（3）線面距、面面距都轉化為點面距；

（4）求點面距： （為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）。

  六 能力突破

 例1    如圖在直三棱柱ADE-BCF中,面ABFE和面ABCD都為正方形,且互相垂直, M為AB的中點, O為DF中點.

  （1）求證：OM∥平面BCF ;

  （2）求證：平面MDF⊥平面EFCD ;

  （3）（理科）求二面角F-DM-C的正切值。

【分析】問題（1）是證明線面平行，則可以利用線面

平行的判定定理；問題（2）是證明面面垂直，方法

比較多，當然最好的辦法是用線面垂直的判定定理來證明。

 【解析】（1）取FC的中點G , 連結OG、BG�！逴為DF的中點, ∴OG//DC且OG=DC .

 在正方形ABCD中, M為AB中. ∴MB//DC且MB=DC. ∴OG//MB且OG=MB，

 ∴四邊形OMBG為平行四邊形. ∴OM//BG , 又∵BG平面BFC , OM平面BFC， ∴OM//平面BCF.

（2）在直三棱柱ADE-BCF中, DC⊥平面BCF, ∴DC⊥BG , 在等腰△FBC中,

∵BF=BC, ∴G為FC的中點, ∴BG⊥FC , ∴BG⊥平面EFCD. 又∵OM//BG ,

∴OM⊥平面EFCD. 又∵OM平面MDF, ∴平面MDF⊥平面EFCD.

（3）過B作BH⊥DM交DM的延長線于H , 連結FH .

∵平面EFBA⊥平面ABCD, FB⊥AB.  ∴FB⊥平面ABCD .

∴BH為FN在平面ABCD上的射影.  ∴FH⊥DH (三垂線定理).

∴∠FHB為二面角F-DM-C的平面角, 設AB=1 ,

則BH=BMsin∠AMD=，∴tan∠FHB=.   ∴二面角F-DM-C的正切值為。

【點評】該題主要是能夠熟練應用判定定理來證明相關的問題，因此要熟悉定理并能靈活應用。

【例2】 如圖, 己知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形, AD//BC , ∠BCD=90°, PA=PB, PC=PD。

（1）證明: CD與平面PAD不垂直；

（2）證明：平面PAB⊥平面ABCD；

（3）（理科）如果CD=AD+BC , 二面角P-BC-A等于60°, 求二面角P-CD-A的大小。

【分析】問題（1）需要利用反證法來證明，問題（2）仍用面面垂直的判定定理來證明。

【解析】（1）若CD⊥平面PAD, 則CD⊥PD, 由己知PC=PD得∠PCD=∠PDC<90°, 這與CD⊥PD矛盾,所以CD與平面QAD不垂直.

（2）取AB、CD的中點E、F , 連結PE、PF、EF, EF為

直角梯形的中位線, EF⊥CD.

由PA=PB , PC=PD得 PE⊥AB. 又PF∩EF=F

∴CD⊥平面PEF , 由PE平面PEF 得 CD⊥PE ,

又AB⊥PE且梯形兩腰AB、CD必相交。

∴PE⊥平面ABCD, 又PE平面PAB , ∴平面PAB⊥平面ABCD.

（3）由（2）及二面角定義可知∠PFE為二面角P-CD-A的平面角. 作EG⊥BC于G , 連PG.

   ∴BC⊥PG. ∴∠PGE為二面角P-CD-A的平面角, 即∠PGE=60°.

  由己知 得 EF=(AD+BC)= CD.   又EG=CF=CD.  ∴EF=EG。

  易證得R_t△PEF≌R_t△PEG , ∴∠PFE=∠PGE =60°即為所求。

【點評】會添加輔助線，并注意一定的邏輯推理，這是立體幾何大題的解題所應該注意的地方。

【例3】已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點。

（1）證明：面PAD⊥面PCD；

（2）求AC與PB所成的角余弦值；

（3）（理科）求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值。

【分析】本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角和二面角的有關知識及思維能力和空間想象能力.考查應用向量知識解決數學問題的能力。

【解析】方法一：

（1）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂線定理得：CD⊥PD。因而，CD與面PAD內兩條相交直線AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD。又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

（2）解：過點B作BE//CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角.

連結AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形.  由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°，在Rt△PEB中BE=，PB=， 。

（3）解：作AN⊥CM，垂足為N，連結BN。在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM。

在等腰三角形AMC中，AN?MC=，

.    ∴AB=2，

方法二：（理科）因為PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.