1、已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（    ）

A．                  B．  

C．             D．

2  設有直線m、n和平面、。下列四個命題中，正確的是       w.w.w.k.s.5.u.c.o.

A.若m∥,n∥,則m∥n

B.若m,n,m∥,n∥,則∥

C.若，m,則m

D.若，m，m,則m∥     

3、設是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是

A    B    

C     D  

4、已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（    ）

A．                B．   

C．               D．

5、設是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是（    ）

A．             B．

C．             D．

6、對兩條不相交的空間直線a與b,必存在平面α,使得

A.          B.∥α

C.          D.

7、給定空間中的直線及平面。條件“直線與平面內無數條直線都垂直”是“直線與平面垂直”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。ā　　。�

A.充要條件.　　　　　　　　　　　　　　　B.充分非必要條件.

C.必要非充分條件.　　　　　　　　　　　　D.既非充分又非必要條件.

8、右圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，

可得該幾何體的表面積是（    ）

A．          B．        

C．        D．

9、將正三棱柱截去三個角（如圖1所示分別是三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（    ）

10、用與球必距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為

  A.                B.             C.          D.

11、設是球半徑上的兩點，且，分別過作垂直于的平面，截球面得三個圓，則這三個圓的面積之比為：(   )

Ａ.3:5:6　　           Ｂ.3:6:8　　         Ｃ.5:7:9　　          Ｄ5:8:9

12、長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的8個頂點在同一球面上，且AB=2, AD=, AA₁=1, 則頂點A、B間的球面距離是

A. 2                    B.                       C.                      D.       

13、已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（    ）

A．           B．         C．        D．

14、如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2, AA₁=1, 則BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為

A.                                B.                 C.                             D.

15、已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（    ）

A．                  B．                 C．              D．

16、如圖，到的距離分別是和，與所成的角分別是和，在內的射影分別是和，若，則（    ）

A．              B．

C．              D．

17、直線平面，經過平面外一點與都成角的直線有且只有：(   )

Ａ.１條　�。�.２條　�。�.３條　�。�.４條

18、某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a + b的最大值為（    ）

A.                             B.                C. 4                            D.

19、平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：

充要條件①                                               ；

充要條件②                                                

20、若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是　　　　.

21、在體積為的球的表面上有A，B，C三點，AB=1，BC=，A，C兩點的球面距離為，則球心到平面ABC的距離為_________．

22、等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，M、N分別是AC、BC的中點，則EM、AN所成角的余弦值等于          ．

23、一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為，則該正方體的表面積為                  .

24、已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于______________。

25、已知點在同一個球面上,若

,則兩點間的球面距離是             

26、如圖，已知球O的面上四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC。AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于       。

27、如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，．

（Ⅰ）設是上的一點，證明：平面平面；

（Ⅱ）求四棱錐的體積．

28、如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點

（Ⅰ）證明：直線；

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大��；

（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。

29、如圖，正四棱柱中，，點在上且．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

30、（本小題共14分）

如圖，在三棱錐中，，，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

（Ⅲ）求點到平面的距離．

31、如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O為AD中點.

（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求異面直線PB與CD所成角的大�。�

（Ⅲ）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出　的值；若不存在，請說明理由.

32、如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.

33、如圖，在四棱錐中，底面是矩形.

已知.

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大�。�

（Ⅲ）求二面角的大小.

34、如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的菱形，, , ,為的中點。

（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（Ⅱ）求點B到平面OCD的距離。

答案：

1、D2、D3、C4、B5、C6、B7、C8、D 9、A 10、D 11、D 12、C 13、C 14、D 15、B 16、D 17、B 18、C

19、．兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行四邊形．

注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣得分．

20、9   21、   22、   23、24  24、2  25、 26、

27解（Ⅰ）證明：在中，

由于，，，

所以．

故．

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面，

故平面平面．

（Ⅱ）解：過作交于，

由于平面平面，

所以平面．

因此為四棱錐的高，

又是邊長為4的等邊三角形．

因此．

在底面四邊形中，，，

所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為，

此即為梯形的高，

所以四邊形的面積為．

故．

28方法一（綜合法）

（1）取OB中點E，連接ME，NE

又

（2）

為異面直線與所成的角（或其補角）

作連接

，

所以 與所成角的大小為

（3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作

 于點Q，

又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離

，

，所以點B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)

作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系

(1)

設平面OCD的法向量為,則

即

取,解得

(2)設與所成的角為,

 , 與所成角的大小為

(3)設點B到平面OCD的交流為,則為在向量上的投影的絕對值,

由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為

29解：依題設知，．

（Ⅰ）連結交于點，則．

由三垂線定理知，．

在平面內，連結交于點，

由于，

故，，

與互余．

于是．

與平面內兩條相交直線都垂直，

所以平面．

（Ⅱ）作，垂足為，連結．由三垂線定理知，

故是二面角的平面角．

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小為．

解法二：

以為坐標原點，射線為軸的正半軸，

建立如圖所示直角坐標系．

依題設，．

，

．

（Ⅰ）因為，，

故，．

又，

所以平面．

（Ⅱ）設向量是平面的法向量，則

，．

故，．

令，則，，．

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小為．

30解法一：

（Ⅰ）取中點，連結．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中點．連結．

，．

是在平面內的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

過作，垂足為．

平面平面，

平面．

的長即為點到平面的距離．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．

平面，

．

在中，，，

．

．

點到平面的距離為．

解法二：

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系．

則．

設．

，

，．

取中點，連結．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小為．

（Ⅲ），

在平面內的射影為正的中心，且的長為點到平面的距離．

如（Ⅱ）建立空間直角坐標系．

，

點的坐標為．

．

點到平面的距離為．

31、本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.

解法一：

（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD, O為AD中點，所以PO⊥AD,

又側面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,

有OD∥BC且OD=BC, 所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.

因為AD=2AB=2BC=2, 在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,

所以OB＝，

在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以異面直線PB與CD所成的角是.

（Ⅲ）假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為.

設QD＝x，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，

在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP, S_△PCD=,

由V_p-DQC=V_Q-PCD,得，解得x=，所以存在點Q滿足題意，此時.

32、解法一（Ⅰ）如圖所示，連結BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形。因為E是CD的中點，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB。又因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE。而AB=A，因此BE⊥平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結PF。過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，所以AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.

則AG⊥PF.連結HG，由三垂線定理的逆定理得，

PF⊥HG.

所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

解法二  如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系。則相關各點的坐標分別是

A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），E(1,,0)

（Ⅰ）因為，平面PAB的一個法向量是，所以共線.從而BE⊥平面PAB.

又因為平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知  

   設是平面PBE的一個法向量，則由得

所以

 設是平面PAD的一個法向量，則由得

所以故可取

于是，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

33解：（Ⅰ）證明：在中，由題設，AD=2可得

，于是。在矩形中，.又，

所以平面.

（Ⅱ）解：由題設，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角.

在中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，故

所以異面直線與所成的角的大小為.

（Ⅲ）解：過點P做于H，過點H做于E，連結PE

因為平面，平面，所以.又，

因而平面，故HE為PE在平面ABCD內的射影.由三垂線定理可知，

，從而是二面角的平面角。

由題設可得，

于是在中，

所以二面角的大小為．

34主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系、異面直線所成角即點到平面的距離等知識，考查空間想象能力和思維能力，用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。

解：方法一（綜合法）

（1）

為異面直線與所成的角（或其補角）

       作AP⊥CD于點P ，連接MP

，

所以 與所成角的大小為

（２）點B和點A到平面OCD的距離相等，

連接OP,過點A作 于點Q，

又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離

  ，

，所以點B到平面OCD的距離為

方法二（向量法)

作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系

,

(1)設與所成的角為,

  ,

與所成角的大小為

(2)

設平面OCD的法向量為,則

即

取,解得

設點B到平面OCD的距離為,則為在向量n上的投影的絕對值,

, .所以點B到平面OCD的距離為

2009屆高考數學二輪專題突破訓練――立體幾何（二）

1、如圖是一個空間幾何體的主視圖（正視圖）、側視圖、

  俯視圖，如果直角三角形的直角邊長均為1，那么這

  個幾何體的體積為（    ）.

       A．1     B．      C．      D．

2、一個三棱錐S－ABC的三條側棱SA、SB、SC兩兩互相垂直,且長度分別為1,,3,則這個三棱錐的外接球的表面積為（   ）

A.    B.   C.   D.

3、點M是邊長為2的正方形ABCD內或邊界上一動點，N是邊BC的中點，則的最大值是

  A．2         B．4         C．5          D．6

4、如圖在正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC的中點，EF⊥DE,且BC=1，則正三棱錐A-BCD的體積是

5、設α，β，γ為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m⊥β的一個充分條件是   (   )

A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l        B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ

C．α⊥γ，β⊥γ， m⊥α         D．n⊥α，n⊥β， m⊥α

6、設是不同的直線，、、是不同的平面，有以下四個命題

 ①；②；③；④；

其中正確的命題是（     ）

Ａ．①④；　　　       Ｂ．②③；　　　　    Ｃ．①③；　　　　　Ｄ．②④；

7、已知直線、，平面、,給出下列命題:

①若，且，則    ②若，且，則

③若，且，則     ④若，且，則

其中正確的命題是

.①③        .②④       .③④       .①

8、一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為(    )

A、3π    B、4π    C、3π       D、6π

9、在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C和C₁D與底面A₁B₁C₁D₁所成的角分別為60°和45°，則異面直線B₁C和C₁D所成的角的余弦值為（     ）

   A．              B.          

C.                      D.

10、已知α、β是平面，m、n是直線，則下命題不正確的是（     ）

  A．若m∥n , m⊥α, 則n⊥α           B. 若,m⊥α,  m⊥β, 則α∥β

  C.若m⊥α, m∥n, nβ, 則α⊥β            D.若m∥α,  α ∩β=n則m∥n

11、如圖，在正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D₁D的中點，N是A₁B₁上的動點，則直線NO、AM的位置關系是（    ）

A．平行                                       B．相交

C．異面垂直                                D．異面不垂直

12、在正三棱錐中，斜高線與底面所成的角等于，動點在側面內，底面，垂足為，，則動點的軌跡為 （    ）

Ａ．線段            Ｂ．圓              Ｃ．一段拋物線     �。模�一段圓弧

13、 棱長為1的正方體在平面α內的射影構成的圖形面積的取值范圍是　    

14、關于直線與平面，有以下四個命題：

①若且，則；②若且，則；

③若且，則；④若且，則；

其中正確命題的序號是            （把你認為正確命題的序號都填上）