∴存在實數b使得     有解，…………11分

由①得代入③得，…………12分

有解，得，

………………14分

8. _{武漢市2008屆高中畢業生二月調研測試文科數學試題}

函數，。

(1)求證：函數與的圖象恒有公共點；

（2）當時，若函數圖象上任一點處切線斜率均小于1，求實數的取值范圍；

（3）當時，關于的不等式的解集為空集，求所有滿足條件的實數的值。

解：（1）即證的實根。

也就是方程有非負實數根。

而

  ∴方程恒有正根

∴與圖象恒有公共點……………………………………………………（4分）

（2）由題設知時   恒成立

而

∴當時   恒成立

即

而在上單調增

∴

∴的取值范圍為……………………………………………………（8分）

（3）由題設知  當時，恒成立

記

若  則  不滿足條件

故  而

①     當 即時，在上遞減，在上遞增，

于是

∴

②     當 即時，在[0，1]上遞減，于是

矛盾

綜上所述：……………………………………………………………………（14分）

(若用分離變的方法相應給分)

9. 武漢市2008屆高中畢業生二月調研測試理科數學試題

（1）求證：當時，不等式對于恒成立 .

（2）對于在（0,1）中的任一個常數，問是否存在使得成立？

如果存在，求出符合條件的一個；否則說明理由。

（1）證明：(Ⅰ)在時，要使成立。

只需證：即需證：       ①

令，求導數

∴，又，求，故

∴為增函數，故，從而①式得證

（Ⅱ）在時，要使成立。

只需證：，即需證：         ②

令，求導數得

而在時為增函數 ,故，從而

∴在時為減函數，則，從而②式得證

由于①②討論可知，原不等式在時，恒成立…………（6分）

（2）解：將變形為       ③

要找一個X₀>0，使③式成立，只需找到函數的最小值，

滿足即可，對求導數

令得，則x= -lna，取X₀= -lna

在0< x < -lna時，，在x > -lna時，

在x=-lna時，取得最小值

下面只需證明：，在時成立即可

又令，對關于求導數

則，從而為增函數

則，從而得證

于是的最小值

因此可找到一個常數，使得③式成立   ……………………（14分）

10. 2008年電白四中高三級2月測試卷

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，

       （1） 要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應在什么范圍內？

       （2） 若|AN| （單位：米），則當AM、AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

 解：設AN的長為x米（x >2）

       ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ ------------------------------------- 4分

（1）由S_AMPN > 32 得  > 32 ，

       ∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

       ∴       即AN長的取值范圍是----------- 8分

（2）令y＝，則y′＝  -------------- 10分

∵當，y′< 0，∴函數y＝在上為單調遞減函數，

∴當x＝3時y＝取得最大值，即（平方米）

此時|AN|＝3米，|AM|＝米      ---------------------- 12分

11. 成都外國語學校高2008級二月月考數學試題

把函數的圖象按向量平移得到函數的圖象。

（1）若證明：。

（2）若不等式對于及恒成立，求實數的取值范圍。

解：（1）由題設得，令則在上是增函數。故即。

（2）原不等式等價于。

令則。

令得列表如下（略）

當時，。

令則解得或。

12. 已知數列為等差數列，，且其前項和為，又正項數列滿足

⑴求數列的通項公式；

⑵比較的大��；

⑶求數列的最大項；

⑷令，數列是等比數列嗎？說明理由。

解：⑴設的公差為，則

且，得，從而

故   

⑵

⑶由（2）猜想遞減，即猜想當≥時，                     

考察函數，當時

故在上是減函數，而≥

所以，即

于是猜想正確，因此，數列的最大項是   

⑷不是等比數列

由知

故不是等比數列                                                           

13. 已知函數，，的最小值恰好是方程的三個根，其中．

（1）求證：；

（2）設，是函數的兩個極值點．

①若，求函數的解析式；         ②求的取值范圍．

解：（1）三個函數的最小值依次為，，，

由，得 

∴  

，

故方程的兩根是，．

故，．

，即

∴  ．

（2）①依題意是方程的根，

故有，，

且△，得．

由

 ；得，，．

由（Ⅰ）知，故，

∴  ，

∴  ．

②

（或）． 

由（Ⅰ）

∵  ，   ∴  ，

又，   ∴  ，

，（或）

∴  ．.

14. 200８年天津市十二區縣重點學校高三畢業班聯考（一）

已知函數，在處取得極值為2。

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）若函數在區間（m，2m＋1）上為增函數，求實數m的取值范圍；

（Ⅲ）若P（x₀，y₀）為圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍.解：（Ⅰ）已知函數，…………１分

又函數在處取得極值2，　　　　　　　　　…………２分

即            ……………………4分

（Ⅱ）由，得，即

所以的單調增區間為（－1，1）…………………………     6分

因函數在（m，2m＋1）上單調遞增，

則有，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………７分

解得即時，函數在（m，2m＋1）上為增函數   ………８分

（Ⅲ）

直線l的斜率…………９分

 即  令，…………１０分

則

   即直線l的斜率k的取值范圍是      ………………1２分

15. 若函數

   （1）求函數的單調區間

   （2）若對所有的成立，求實數a的取值范圍.

解：（1）的定義域為                                     …………12分

                                      …………2分

       ①當…………3分

       ②時

                              …………4分

                                                        …………5分

       綜上：

       單調遞減區間為

       的單調遞增區間（0，+）         …………6分

   （2）           …………7分

                                               …………8分

       則                                                  …………9分

                                                                        …………10分

                                                    …………11分

                                                                         …………12分

       另解：              

       …………7分

                          …………8分

       單增                     …………9分

       ①當

                                                                         …………11分

       ②當

       不成立                                                            …………12分

       綜上所述

16. 山東省濰坊市2008年高三教學質量檢測

2008年奧運會在中國召開，某商場預計2008年從1日起前x個月，顧客對某種奧運商品的需求總量p（x）件與月份x的近似關系是

該商品的進價q(x)元與月份x的近似關系是。

   （I）寫出今年第x月的需求量f(x)件與月份x的函數關系式；

   （II）該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，則此商場今年銷售該商品的月利潤預計最大是多少元？

解：（I）當 ；                                                …………1分

當

                                                                                                         …………4分

驗證，

                                     …………5分

   （II）該商場預計銷售該商品的月利潤為

（舍去）……9分

綜上5月份的月利潤最大是3125元。      …………12分

17. 江蘇省濱海縣08屆高三第三次聯考數學試卷2008-1-4

    已知函數

(1)若在上單調遞增，求的取值范圍；

    (2)若定義在區間D上的函數對于區間D上的任意兩個值總有以下不等式成立，則稱函數為區間D上的“凹函數”.試證當時，為“凹函數”

解： (1)由，得

      若函數為上單調增函數，則在上恒成立

     即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立

令，上述問題等價于，而為在上的減函數，則，于是為所求

       (2)證明：由 得

        而  ①

        又，  ∴  ②

∵   ∴，

∵  ∴  ③

由①、②、③得

即，從而由凹函數的定義可知函數為凹函數

18. 如右圖（1）示，定義在D上的函數，如果滿足：對，常數A，都有≥A成立，則稱函數在D上有下界，其中A稱為函數的下界. （提示：圖(1)、（2）中的常數A、B可以是正數，也可以是負數或零）

                                               （1）

（1）試判斷函數在（0，＋）上是否有下界？并說明理由；

（2）又如具有右圖（2）特征的函數稱為在D上有上界。請你類

比函數有下界的定義，給出函數在D上有上界的定義，并判斷（1）   

中的函數在（－， 0）上是否有上界？并說明理由；                   

（3）若函數在D上既有上界又有下界，則稱函數在D上       (2)

有界，函數叫做有界函數．試探究函數（是常數）是否是（、是常數）上的有界函數？

解法1：∵，由得，

       ∵，      ∴，-----------------2分

∵當時，，∴函數在（0，2）上是減函數；

當時，，∴函數在（2，＋）上是增函數；

∴是函數的在區間（0，＋）上的最小值點，

∴對，都有，------------------------------------4分

即在區間（0，＋）上存在常數A=32,使得對都有成立，

∴函數在（0，＋）上有下界. ---------------------5分   

[解法2：

當且僅當即時“＝”成立

∴對，都有，

即在區間（0，＋）上存在常數A=32,使得對都有成立，

∴函數在（0，＋）上有下界.]

（2）類比函數有下界的定義，函數有上界可以這樣定義：

定義在D上的函數，如果滿足：對，常數B，都有≤B成立，則稱函數在D上有上界，其中B稱為函數的上界. -----7分

設則，由（1）知，對，都有，

∴，∵函數為奇函數，∴

∴，∴

即存在常數B=－32，對，都有,

∴函數在（－， 0）上有上界. ---------9分

（3）∵，

由得，∵

∴    ∵ ，  ∴，----------10分

∵當時，，∴函數在（0，）上是減函數；

當時，，∴函數在（，＋）上是增函數；

∴是函數的在區間（0，＋）上的最小值點， ---------------------11分

①當時，函數在上是增函數；

∴

∵、是常數，∴、都是常數

令,

∴對，常數A,B,都有

即函數在上既有上界又有下界-------------------------12分

②當  時函數在上是減函數

∴對都有

∴函數在上有界.-------------------------13分

③當時，函數在上有最小值

＝

令,令B=、中的最大者

則對，常數A,B,都有

∴函數在上有界.

綜上可知函數是上的有界函數--------------14分

19. 已知函數，僅當時取得極值且極大值比極小值

   大4，求的值.

解：且是極值點

則            

僅有極值且為極大值點，為極小值點 

故   

20. 已知函數為偶函數，它的圖象過點A(0,-1)，且x=1處的切線方程為2x+y-2=0。

   （1）求函數的表達式；

（2）若對任意x∈R，不等式≤都成立，求實數t的取值范圍。

解：（1）∵是偶函數，

     即恒成立。

     ∴，                          ……2分

     又由圖象過點，可知

     又∵，由題意知函數在點(1,0)的切線斜率為，

     故                                           ……4分

     ∴  ∴ ……6分

  （2）由 恒成立 ，且恒大于0，可得恒成立，

令                                       ……8分

       設

 （當且僅當                               

      ∴的最大值為  故實數t的取值范圍是  ……12分

21. 已知，（），直線與函數、的圖像都

相切，且與函數的圖像的切點的橫坐標為1．

    （Ⅰ）求直線的方程及的值；

（Ⅱ）若（其中是的導函數），求函數的最大值；

（Ⅲ）當時，求證：．

解：（Ⅰ）依題意知：直線是函數在點處的切線，故其斜率

，

所以直線的方程為．

    又因為直線與的圖像相切，所以由

，

得（不合題意，舍去）；

    （Ⅱ）因為（），所以

．

當時，；當時，．

因此，在上單調遞增，在上單調遞減．

因此，當時，取得最大值；

（Ⅲ）當時，．由（Ⅱ）知：當時，，即．因此，有

．

22. 某工廠有一個容量為300噸的水塔，每天從早上6時起到晚上10時止供應該廠的生產和生活用水，已知該廠生活用水為每小時10噸，工業用水量W（噸）與時間t（小時，且規定早上6時t＝0）的函數關系為W＝100．水塔的進水量分為10級，第一級每小時進水10噸，以后每提高一級，每小時進水量就增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在開始供水的同時打開進水管，問進水量選擇為第幾級時，既能保證該廠的用水（水塔中水不空）又不會使水溢出?

    設進水量選第x級，則t小時后水塔中水的剩余量為：

y＝100＋10xt－10t－100，且0≤t≤16．

根據題意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100≤300．?

當t＝0時，結論成立．

當t＞0時，由左邊得x＞1＋10（）, 令m=，由0＜t≤16，m ≥，

記f（t）=1＋10（）=1+10m²-10m³，（m ≥）

則f¢（t）=20m ? 30 m ² =0得m = 0或m =．

∵當≤m ＜時，f¢（t）＞0；當m ＞時，f¢（t）＜0，

∴所以m =時（此時t =），f（t）最大值=1+10（）²-10（）³=≈2.48．

當t＝時，1＋10（）有最大值2.48．?

∴x＞2.48，即x≥3．

由右邊得x≤＋1，當t＝16時，＋1有最小值

＋1=∈（3，4）．即x≤3．

綜合上述，進水量應選為第3級．

【總結點評】本題考查數學建模的基本思想，怎么樣把實際問題轉化為數學問題，進而用已有的數學知識求這個數學問題的解。水塔中的水不空又不會使水溢出等到價于進出水量的平衡，進水量與選擇的進水級別與進水時間相關，出水量有生活用水與工業用水兩部分構成，故水塔中水的存量是一個關于進水級別與用水時間的函數，而容量為300噸的水塔就構成一個不等式，解之得問題的解.

23. 某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規則的非農業用地規劃建成一個矩形的高科技工業園區.已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=4 AO=2km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向上的拋物線的一段.如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應如何規劃才能使矩形工業園區的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0．1km²）.

以O為原點，OA所在直線為軸建立直角坐標系（如圖）

依題意可設拋物線的方程為

故曲線段OC的方程為 

設P（）是曲線段OC上的任意一點，則|PQ|=2+，|PN|=4－^2．

∴工業園區面積S=|PQ|?|PN|=（2+）（4－²）=8－³－2²+4. 

∴S′=－3²－4+4，令S′=0

又

當時，S′>0，S是的增函數；

當）時，S′<0，S是的減函數.

時，S取到極大值，此時|PM|=2+=

而當

所以當即|PM|=，矩形的面積最大為 

答:把工業園區規劃成長為寬為時,工業園區的面積最大，最大面積為9.5（km）

【解讀】《考試大綱》要求利用導數求一些實際問題的最大值和最小值，而且還要求考查實踐能力，因此運用導數來解決實際問題也就在高考所要求考查之列，解決這類問題的關鍵在于從實際問題中建立函數模型，然后利用導數來求最值.如本題根據題意建立坐標系后（這是由拋物線聯想到的）建立的是三次函數模型，而引入導數以后三次函數本來就是高考的�？键c，應引起足夠的重視.

24．已知函數（，）在和處取到極值．

（1）求，和的值；

（2）求最大的正整數，使得時，

 ≤與≤同時成立．

解：（1）依題意可知，，   則：，--------------------------------2分

  則，         ，，

；------------------------------------------4分

（2）由（1）知，

的兩個根分別是和2，

令得或，令得

即函數在區間上單調增，在區間上單調減，在區間上單調增，----------------------6分

又，，，

令，得，

其有一個根為，則分解得：，得或；--------8分

令，得，

其有一個根為2，則分解得：，得或；--------10分

則要使得，，，必須滿足：；-------12分

又∵為正整數，∴最大為4，

另一方面，，

由于，則要使得，，成立，則

，即，-------14分

令，則，，

則要使得，，成立，，

（此處也可以對最大的正整數，在區間上驗證）

綜上所述，最大的正整數為4．----------------------------------------17分

25．已知：在函數的圖象上，以為切點的切線的傾斜角為．

    （Ⅰ）求，的值；

    （Ⅱ）是否存在最小的正整數，使得不等式對于恒成立？如果存在，請求出最小的正整數；如果不存在，請說明理由；

    （Ⅲ）求證：（，）．

解：（Ⅰ） ，依題意，得，即，.  …2分

     ∵  ， ∴ .                  ……………………3分

   （Ⅱ）令，得.      …………………………4分

     當時，；當時，；

     當時，.     又，，，.     因此，當時，.

 要使得不等式對于恒成立，則.

          所以，存在最小的正整數，使得不等式對于

     恒成立.    

    （Ⅲ）方法一：

    .   又∵ ，∴ ，.   

  ∴ .

     綜上可得，（，）.   ………14分

    方法二：由（Ⅱ）知，函數在 [-1，]上是增函數；在[,]上是減函數；在[，1]上是增函數.又，，，.

    所以，當x∈[-1，1]時，，即.

    ∵ ，∈[-1，1]，∴ ，.

    ∴ .……11分

    又∵，∴ ，且函數在上是增函數.

    ∴ .      …………………13分

    綜上可得，（，）.……………14分

26. 已知函數，在x=1處連續.

   （I）求a的值；

   （II）求函數的單調減區間；

   （III）若不等式恒成立，求c的取值范圍.

（I）解：由處連續，

可得，故                                                          …………2分

   （II）解：由（I）得

所以函數                                             …………7分

   （III）解：設

故c的取值范圍為                                                                 …………13分

27. 設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②

函數的導數滿足.”

   （I）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意

[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

試用這一性質證明：方程只有一個實數根；

   （III）設是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的.

解：（1）因為，…………2分 

       所以滿足條件………………3分

       又因為當時，，所以方程有實數根0.

       所以函數是集合M中的元素.…………4分

     （2）假設方程存在兩個實數根），

       則，………5分  不妨設，根據題意存在數

       使得等式成立，……………………7分

       因為，所以，

       與已知矛盾，所以方程只有一個實數根；…………9分

       （3）不妨設，因為所以為增函數，所以，

       又因為，所以函數為減函數，………………10分

       所以，…………11分

       所以，即…………12分

       所以

28. 已知向量=（1，0），=（0，1），函數的圖象在軸上的截距為1，在=2處切線的方向向量為，并且函數當時取得極值。

（1）求的解析式；（2）求的單調遞增區間；（3）求的極值。

18．）

29. 將一張2×6米的硬鋼板按圖紙的要求進行操作：沿線裁去陰影部分，把剩余的部分按要求焊接成一個有蓋的長方體水箱（⑦為底，①②③④為側面，⑤+⑥為水箱蓋，其中①與③、②與④分別是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦），設水箱的高為x米，容積為y立方米。

   （1）寫出y關于x的函數關系式；

   （2）如何設計x的大小，使得水箱的容積最大？