1．（天津理科5）設橢圓上一點P到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則P點到右準線的距離為                                          （  B  ）

A．6                           B．2                            C．                         D．

2．（天津文科7）設橢圓的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為                                                                      （  B  ）

A．            B．           C．          D．

3．（江西文、理科7）已知F₁、F₂是橢圓的兩個焦點．滿足?＝0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是                                     （  C  ）

A．(0，1)                   B．(0，]                  C．(0，)                     D．[，1)

4．（上海文科12）設是橢圓上的點．若、是橢圓的兩個焦點，則等于                                                       (  D  )

A．                          B．                           C．                          D．.

5．（湖北文、理科10）如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P處進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c₁和2c₂分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：

①a₁＋c₁＝a₂＋c₂；

②a₁－c₁＝a₂－c₂；

③c₁a₂＞a₁c₁；

④＜．

其中正確式子的序號是                                   （  B  ）

A．①③                      B．②③                       C．①④                      D．②④

6. （全國2文）設是等腰三角形，，則以為焦點且過點的雙曲線的離心率為（    ）

A．          B．          C．          D．

7. （全國2理9）設，則雙曲線的離心率的取值范圍是（    ）

A．          B．        C．             D．

8. （福建文12理11）雙曲線的兩個焦點為F₁，F₂，若P為其上一點，且|PF₁|=2|PF₂|，則雙曲線離心率的取值范圍為（    ）

A．(1，3)            B．               C．(3，+)        D．

9. （遼寧文6）設P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為（    ）

A．             B．            C．                     D．

10. （遼寧文11）已知雙曲線的一個頂點到它的一條漸近線的距離為，則（    ）

A．1             B．2              C．3             D．4

11. （遼寧理10）已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（    ）

A．             B．             C．         D．

12.（浙江理7）若雙曲線的兩個焦點到一條準線的距離之比為，則雙曲線的離心率是（    ）

A．3             B．5              C．         D．

13.（ 陜西理8）雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（    ）

A．         B．          C．         D．

14. （海南理寧夏11）已知點P在拋物線上，那么點P到點的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為（    ）

A．        B．            C．              D．

15. （海南文寧夏2）雙曲線的焦距為（    ）

A．              B．              C．              D．

16. （湖南理8）若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是( B )

A.(1,2)             B.(2,+)           C.(1,5)         D. (5,+) 

17. （湖南文10）若雙曲線（，）的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（    ）

A．          B．             C．            D．

18. （重慶文8）若雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，則的值為（    ）

A．2             B．3              C．4             D．

19. （重慶理8）已知雙曲線的一條漸近線為，離心率，則雙曲線方程為（    ）

A．        B．

C．        D．

20.（北京文3）“雙曲線的方程為”是“雙曲線的準線方程為”的（   ）

A．充分而不必要條件               B．必要而不充分條件

C．充分必要條件                      D．既不充分也不必要條件

21. （北京理4）若點到直線的距離比它到點的距離小1，則點的軌跡為（    ）

A．圓           B．橢圓         C．雙曲線           D．拋物線

22．（湖南理科12）已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F，右準線為l,離心率e＝過頂點A(0,b)作AMl，垂足為M，則直線FM的斜率等于         ．答案：

23．（浙江理科12文科13）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則           ．答案：8

24．（寧夏海南文科15）過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點, 為坐標原點, 則△的面積為             .    答案：

25．（江蘇12）在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2，以O為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率=          ．

【解析】如圖，切線PA、PB互相垂直，又半徑OA垂直于PA，所以

△OAP是等腰直角三角形，故，解得．

【答案】

26．（全國Ⅰ文科15）在△ABC中，∠A＝90°，tanB＝．若以A、B為焦點的橢圓經過點C，則該橢圓的離心率e＝               ．

答案：．不妨設2c＝AB＝4，AC＝3，則CB＝5，由橢圓定義可得2a＝AC＋CB＝8，于是

27．（全國Ⅰ理科15）在中，，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率           ．

答案：.設，則

，．

28．（上海理科10）某海域內有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區（含邊界），其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導航燈的海拔高度分別為h₁、h₂，且兩個導航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上，現有船只經過該海域（船只的大小忽略不計），在船上測得甲、乙導航燈的仰角分別為θ₁、θ₂，那么船只已進入該淺水區的判別條件是                  ．

答案：h₁cotθ₁+ h₂cotθ₂≤2a．

29.（全國2文15）．已知是拋物線的焦點，是上的兩個點，線段AB的中點為，則的面積等于        ．15．2

30. （全國I文14）已知拋物線的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為            ．14．

31. （全國理II14）已知拋物線的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為            ．14．2

32. （全國2理15）已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點．設，則與的比值等于        ．15．

33.（山東文）

34. （安徽文14）已知雙曲線=1的離心率為，則n=          ．14．4

35.( 江西文14)已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線的方程為            ．14．

36. (江西理15)過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點（點在軸左側），則           ．15．

37. (海南理寧夏14）設雙曲線的右頂點為A，右焦點為F．過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為　　　　　　．14．

38. (海南文寧夏15）過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，則的面積為         ．15．

39. (天津理13)已知圓的圓心與拋物線的焦點關于直線對稱，直線與圓相交于兩點，且，則圓的方程為          ． 13．

40. (天津文15)．已知圓的圓心與點關于直線對稱．直線與圓相交于兩點，且，則圓的方程為             ．15．

41. （上海文6）若直線經過拋物線的焦點，則實數　　　　　．6．

42.．（湖南文科19）已知橢圓的中心在原點，一個焦點是F(2,0)，且兩條準線間的距離為λ(λ＞4).(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)若存在過點A(1,0)的直線l,使點F關于直線l的對稱點在橢圓上，求λ的取值范圍.

解：（Ⅰ）設橢圓的方程為(a＞b＞0)．

由條件知c＝2，且＝λ，所以a²＝λ，b²＝a²－c²＝λ－4．

故橢圓的方程是

(Ⅱ)依題意，直線l的斜率存在且不為0，記為k，則直線l的方程是y＝k(x－1).設點F(2,0)關于

直線l的對稱點為F′(x₀,y₀)，則

解得

因為點F′(x₀，y₀)在橢圓上，所以即

λ(λ－4)k⁴＋2λ(λ－6)k²＋(λ－4)²＝0.

設k²＝t,則λ(λ－4)t²＋2λ(λ－6)t－(λ－4)²＝0.

因為λ＞4，所以＞0．

解得．

43.．（廣東理科18文科20）設b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過點F（0，b＋2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G．已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F₁．

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

【解析】（1）由得，

當得，G點的坐標為，，，

過點G的切線方程為即，

令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，

即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，

同理 以為直角的只有一個．

若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和，

．

關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，

因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形．

44．（北京文科19）已知的頂點在橢圓上，在直線上，且．

（Ⅰ）當邊通過坐標原點時，求的長及的面積；

（Ⅱ）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

解：（Ⅰ）因為AB∥l，且AB邊通過點（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x.

設A，B兩點坐標分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).

由得

所以

又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離，

所以

（Ⅱ）設AB所在直線的方程為y=x+m.

            由得

            因為A，B在橢圓上，

            所以

            設A，B兩點坐標分別為（x₁,y₁），（x₂,y₂）.

            則

            所以

            又因為BC的長等于點（0,m）到直線l的距離，即

            所以

            所以當m=-1時，AC邊最長.（這時）

            此時AB所在直線方程為.

45．（北京理科19）已知菱形的頂點在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1．

（Ⅰ）當直線過點時，求直線的方程；

（Ⅱ）當時，求菱形面積的最大值．

解：（Ⅰ）由題意得直線直線的方程為．

因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.

于是可設直線的方程為

由得

因為A，C在橢圓上，

所以△＝-12n²+64＞0，解得

設A，C兩點坐標分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂),

則

所以

所以AC的中點坐標為

由四邊形ABCD為菱形可知，點在直線y=x+1上，

所以，解得n=-2．

所以直線AC的方程為，即x+y+2=0．

（Ⅱ）因為四邊形ABCD為菱形，且,

所以

所以菱形ABCD的面積

由（Ⅰ）可得

所以

所以當n=0時，菱形ABCD的面積取得最大值.

46．（寧夏海南理科20）在直角坐標系中，橢圓的左右焦點分別

為.也是拋物線的焦點，點為與在第一象限的交點，且

.

(I)求的方程；

(II)平面上的點滿足，直線，且與交于兩點，若

，求直線的方程．

解：(I)由題意得c＝1，所以a²＝b²＋1．…………①

由拋物線定義知，所以，

代入橢圓方程得．…………②

由①②解得b²＝3（－8／9舍去），a²＝4．

所以橢圓的方程是．

(II)

因為直線，所以．設直線，

代入橢圓方程得．設A，B兩點坐標分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂)，

則，故．

因為，

所以．

因為，所以．

故即．

解得，滿足．因此直線的方程．

47．（福建理科21）如圖、橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.

（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，值有,求a的取值范圍.

【解析】本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力.

解法一：(Ⅰ)設M，N為短軸的兩個三等分點，

因為△MNF為正三角形，所以,

                即1＝

                因此，橢圓方程為

            (Ⅱ)設

             (?)當直線 AB與x軸重合時，

               (?)當直線AB不與x軸重合時，

                    設直線AB的方程為：

                    整理得

                    所以

                    因為恒有，所以AOB恒為鈍角.

                    即恒成立.

又a²+b²m²>0,所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²<0對mR恒成立，

即a²b²m²> a² -a²b²+b²對mR恒成立.

當mR時，a²b²m²最小值為0，所以a²- a²b²+b²<0.

a²<a²b²- b^2, a²<( a²-1)b²= b⁴,

因為a>0,b>0,所以a<b²,即a²-a-1>0,

解得a>或a<(舍去)，即a>,

綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：（i）當直線l垂直于x軸時，

x=1代入=1.

因為恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,2(1+y_A²)<4 y_A^2, y_A²>1，即>1,

解得a>或a<(舍去)，即a>.

（ii）當直線l不垂直于x軸時，設A（x_1,y₁）, B（x_2,y2）.

設直線AB的方程為y=k(x-1)代入

得(b²+a²k²)x²-2a²k²x+ a² k^2- a² b²=0,

故x₁+x₂₌

因為恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,所以x²₁+y²₁+ x²₂+ y²₂<( x₂-x₁)²₊(y₂-y₁)²_,

得x₁x₂+ y₁y₂<0恒成立.

x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂+k²(x₁-1) (x₂-1)=(1+k²) x₁x₂-k²(x₁₊x₂)+ k²

=(1+k²).

由題意得（a²- a² b²+b²）k²- a² b²<0對kR恒成立.

①當a²- a² b²+b²>0時，不合題意；

②當a²- a² b²+b²=0時，a=;

③當a²- a² b²+b²<0時，a²- a²(a²-1)+ (a²-1)<0，a⁴- 3a² +1>0,

解得a²>或a²>（舍去），a>，因此a.

綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）.

48．（遼寧理科20）在直角坐標系中,點到兩點的距離之和為4,設點的軌跡為,直線與交于兩點.

（Ⅰ）寫出的方程;

（Ⅱ）若,求的值;

（Ⅲ）若點在第一象限,證明:當時,恒有.

（遼寧文科21）在平面直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，－）、（0，）的距離之和等于4．設點P的軌跡為C．

(Ⅰ)寫出C的方程；

(Ⅱ)設直線y=kx+1與C交于A、B兩點，.k為何值時此時||的值是多少？

【解析】本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關系等基礎知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．

解：（Ⅰ）設P（x，y）,由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦長，長半軸為2的橢圓.它的短半軸

      故曲線C的方程為．                             ……3分

   （Ⅱ）設，其坐標滿足

         消去y并整理得  3.0，

         故                          ……5分

         若即

         面

         化簡得所以                            ……8分

   （Ⅲ）

                          ＝

                          ＝

                          ＝

        因為A在第一象限，故x₁＞0.由知從而又

        故

        即在題設條件下，恒有                        ……12分

   文（Ⅱ）設，其坐標滿足

消去y并整理得，

故．????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，即．

而，

于是．

所以時，，故．???????????????????????????????????????????? 8分

當時，，．

，

而

，

所以．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

49．（重慶理科21）如圖（21）圖，和是平面上的兩點，動點滿足：

（Ⅰ）求點的軌跡方程；

（Ⅱ）若,求點的坐標.

解：(Ⅰ)由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓.

             因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸

b=，

             所以橢圓的方程為

         (Ⅱ)由得

                      ①

             因為不為橢圓長軸頂點，故P、M、N構成三角形.在△PMN中，

                      ②

             將①代入②，得

             故點P在以M、N為焦點，實軸長為的雙曲線上.

             由(Ⅰ)知，點P的坐標又滿足，所以

             由方程組       解得

             即P點坐標為

50．（全國Ⅱ理科21文科22）設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)、B(0,1)是它的兩個頂點，直線

與AB相交于點D，與橢圓相較于E、F兩點.

(Ⅰ)若 ,求k的值；

(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值.

（Ⅰ）解：依題設得橢圓的方程為，

直線的方程分別為，．?????????????????????????? 2分

如圖，設，其中，

且滿足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化簡得，

解得或．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，

．??????????????????????????????????????? 9分

又，所以四邊形的面積為

，

當，即當時，上式取等號．所以的最大值為．??????????? 12分

解法二：由題設，，．

設，，由①得，，

故四邊形的面積為

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，

當時，上式取等號．所以的最大值為．????????????????????????? 12分

51．（福建文科22）如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若為垂直于軸的動弦，直線：與軸交

于點，直線與交于點．

（?）求證：點恒在橢圓上；

（?）求面積的最大值．

【解析】本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力，滿分14分．

解法一：

（Ⅰ）由題設a=2,c=1,從而b²=a²-c²=3,

所以橢圓C前方程為.

(Ⅱ)(i)由題意得F(1,0),N(4,0).

設A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),=1. ……①

AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.

設M(x₀,y₀),則有

由②，③得x₀=.

所以點M恒在橢圓G上.

(?)設AM的方程為x=xy+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0.

設A(x₁,y₁),M（x₂，y₂），則有：y₁+y₂=

|y₁-y₂|=

令3t²+4=λ(λ≥4),則

|y₁-y₂|＝

因為λ≥4，0<

|y₁-y₂|有最大值3，此時AM過點F.

△AMN的面積S_△AMN=

解法二：

（Ⅰ）問解法一：

（Ⅱ）（?）由題意得F(1,0),N(4,0).

設A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),              ……①

AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0,                  ……②

n(x-4)-(m-4)y=0,                  ……③

由②，③得：當≠.          ……④

由④代入①，得=1（y≠0）.

當x＝時，由②，③得：

解得與a≠0矛盾.

所以點M的軌跡方程為即點M恒在橢圓C上.

（Ⅱ）同解法一.

52．（山東文科22）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中

心的點．

（1）若（為坐標原點），當點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．

解：（Ⅰ）由題意得，橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）（1）設M（x，y），A（x₀，y₀），

則由得．……………………………①

由于⊥線段，∈且異于橢圓中心，得．……②

因為點在橢圓上運動，所以．………………………③

由①②③消去x₀，y₀得，即為所求點的軌跡方程．

（2）因為

，

又點坐標同時滿足，所以．

于是，當且僅當即時取“＝”．

所以的面積的最小值為．

53．（四川理科21）設橢圓 的左、右焦點分別為、，離心率，右準

線為，、是上的兩個動點，．

（Ⅰ）若，求、的值；

（Ⅱ）證明：當取最小值時，與共線．

解析：數列和解幾位列倒數第三和第二，意料之中．開始擠牙膏吧．

（Ⅰ）由已知，，．由，，

∴．又，∴，．

∴：，，．

延長交于，記右準線交軸于．

∵，∴．

由平幾知識易證≌

∴，即，．

∵，

∴，，，．

∴，．

（Ⅰ）另解：∵，∴，．

又

聯立，消去、得：，

整理得：，．解得．

但解此方程組要考倒不少人．

（Ⅱ）∵，∴．

．

當且僅當或時，取等號．此時取最小值．

此時．

∴與共線．

（Ⅱ）另解：∵，∴，．

設，的斜率分別為，．

由，由

．

當且僅當即，時取等號．即當最小時，，

此時

∴與共線．

點評：本題第一問又用到了平面幾何．看來，與平面幾何有聯系的難題真是四川風格啊．注意平面幾何可與三角向量解幾沾邊，應加強對含平面幾何背景的試題的研究．本題好得好，出得活，出得妙！均值定理，放縮技巧，永恒的考點．

54．（四川文科22）設橢圓的左、右焦點分別是F₁和F₂ ，離心率，

點F₂到右準線l的距離為.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)設M、N是右準線上兩動點，滿足

證明：當取最小值時，.

解：（1）因為,F₂到l的距離,所以由題設得

   解得     

由

(Ⅱ)由,a=2得l的方程為.

故可設

由知

得y₁y₂＝－6,所以y₁y₂0,,

當且僅當時，上式取等號，此時y₂＝－y₁,

所以，=（0，y₁+y₂）=0.

55．（安徽理科22）設橢圓過點，且左焦點為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．

解（Ⅰ）由題意：

           ，解得，所求橢圓方程為 ．

（Ⅱ）方法一

 設點Q、A、B的坐標分別為．

由題設知均不為零，記,則且．

又A，P，B，Q四點共線，從而．

于是           ，     

               ，    

從而

       ，（1）   ，（2）

又點A、B在橢圓C上，即

  （1）+（2）×2并結合（3），（4）得，

即點總在定直線上．

方法二

設點，由題設，均不為零，

且 ．

又 四點共線，可設,于是

                             （1）

                             （2）

由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得

      （3）

       (4)

(4)－(3) 　　　得   ，

，

即點總在定直線上．

56．（安徽文科22）已知橢圓，其相應于焦點F(2，0)的準線方程為x=4．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知過點F₁(－2,0)傾斜角為的直線交橢圓C于A，B兩點.，求證：

（Ⅲ）過點F₁(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點A、B和D、E，求的最小值．

解：（Ⅰ）由已知得，又，所以．

故所求橢圓C的方程為．

（Ⅱ）設直線AB方程為，

代入橢圓C的方程得．

設點A、B的坐標分別為，則．

于是

，得證．

（Ⅲ）由（Ⅱ），因為，所以．

因此

當且僅當即時取“＝”．

所以的最小值是．

57. (全國I文22理21)（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直于的直線分別交于兩點．已知成等差數列，且與同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

22．解：（1）設，，

由勾股定理可得：

得：，，

由倍角公式，解得

則離心率．

（2）過直線方程為

與雙曲線方程聯立

將，代入，化簡有

將數值代入，有

解得

最后求得雙曲線方程為：．

58. （山東理22）（本小題滿分14分）

如圖，設拋物線方程為，為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為．

（Ⅰ）求證：三點的橫坐標成等差數列；

（Ⅱ）已知當點的坐標為時，．求此時拋物線的方程；

（Ⅲ）是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中，點滿足（為坐標原點）．若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由．

22．（Ⅰ）證明：由題意設．

由得，得，

所以，．

因此直線的方程為，

直線的方程為．

所以，①

．②

由①、②得，

因此，即．

所以三點的橫坐標成等差數列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當時，

將其代入①、②并整理得：

，

，

所以是方程的兩根，

因此，，

又，

所以．

由弦長公式得．

又，

所以或，

因此所求拋物線方程為或．

（Ⅲ）解：設，由題意得，

則的中點坐標為，

設直線的方程為，

由點在直線上，并注意到點也在直線上，

代入得．

若在拋物線上，則，

因此或．

即或．

（1）當時，則，此時，點適合題意．

（2）當，對于，此時，

，

又，，

所以，

即，矛盾．

對于，因為，此時直線平行于軸，

 又，

所以直線與直線不垂直，與題設矛盾，

所以時，不存在符合題意的點．

綜上所述，僅存在一點適合題意．

59. （湖北文20）(本小題滿分13分)

已知雙曲線的兩個焦點為，，點在雙曲線上．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）記為坐標原點，過點的直線與雙曲線相交于不同的兩點，若的面積為，求直線的方程．

20．本小題主要考查雙曲線的定義、標準方程、直線和雙曲線位置關系等平面解析幾何的基礎知識，考查待定系數法、不等式的解法以及綜合運用數學知識進行推理運算的能力．

（滿分13分）

（Ⅰ）解法1：依題意，由，得雙曲線方程為．

將點代入上式，得．

解得（舍去）或，

故所求雙曲線方程為．

解法2：依題意得，雙曲線的半焦距．

，

，．

雙曲線的方程為．

（Ⅱ）解法1：依題意，可設直線的方程為，代入雙曲線的方程并整理，

得．   ①

直線與雙曲線相交于不同的兩點，

．　　　�、�

設，則由①式得，，

于是

．

而原點到直線的距離，

．

若，即，解得．

滿足②．故滿足條件的直線有兩條，其方程分別為和

解法2：依題意，可設直線的方程為，代入雙曲線的方程并整理，

得．   ①

直線與雙曲線相交于不同的兩點，

．②

設，則由①式得

．③

當在同一支上時（如圖1所示），

；

當在不同支上時（如圖2所示），

．

綜上得，于是由及③式，

得．

若，即，

解得，滿足②．

故滿足條件的直線有兩條，其方程分別為和．

60.(湖北理19)（本小題滿分13分）

如圖，在以點O為圓心，為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點，

∠POB=30°，曲線C是滿足為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P．

（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；

（Ⅱ）設過點D的直線與曲線C相交于不同的兩點E、F．

若的面積不小于，求直線斜率的取值范圍．

19．本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力．（滿分13分）

（Ⅰ）解法1：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則，，，，依題意得

＜｜AB｜＝4．

∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線．

設實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，

則c＝2，2a＝2，∴a²=2，．

∴曲線C的方程為．

解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得

．

∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線．

設雙曲線的方程為＞0，b＞0）．

則由解得a²=b²=2，

∴曲線C的方程為．

（Ⅱ）解法1：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得

．

∵直線與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，

．

設，F(x₂，y₂)，則由①式得x₁+x₂=，，于是

｜EF｜＝

而原點O到直線l的距離，

．

若面積不小于，即，則有

，解得．      ③

綜合②，③知，直線l的斜率的取值范圍為．

解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

得．   ①

∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，

∴  

∴．②

設E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，則由①式得

           ③

當E、F在同一支上時（如圖1所示），

；

當E、F在不同支上時（如圖2所示）．

．

綜上得，于是

由｜OD｜＝2及③式，得．

若面積不小于2，即，則有

，解得．     �、�

綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為．

61.(江西文22)（本小題滿分14分）

已知拋物線和三個點，過點的一條直線交拋物線于兩點，的延長線分別交拋物線于點．

（1）證明三點共線；

（2）如果四點共線，問：是否存在，使以線段為直徑的圓與拋物線有異于的交點？如果存在，求出的取值范圍，并求出該交點到直線的距離；若不存在，請說明理由．

22．（1）證明：設，

則直線的方程，

即．

因為在上，

所以         ①

又直線方程：

由得

所以，

同理，，

所以直線的方程：

令得

將①代入上式得，即點在直線上，

所以三點共線．

（2）解：由已知共線，有，

以為直徑的圓方程：

由得

所以，．

要使圓與拋物線有異于的交點，則，

所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有相異于的交點．

則，所以交點到的距離為．

62.(江西理21)（本小題滿分12分）

設點在直線上，過點作雙曲線的兩條切線，切點為，定點．

（1）      過點作直線的垂線，垂足為，試求的垂心所在的曲線方

程；

（2）      求證：三點共線．

21．解：設．

由已知得到，且，．

（1）垂線的方程為：，

由得垂足，

設重心，

所以，解得

由可得：

即為重心所在曲線方程．

（2）設切線的方程為：

由得

從而．

解得．

因此的方程為：

同理的方程為：

又在上，所以，

即點都在直線上．

又也在直線上，所以三點共線．

63.(浙江理20文22）（本題15分） 已知曲線是到點和到直線距離相等的點的軌跡．

是過點的直線，是上（不在上）的動點；在上，，軸（如圖）．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）求出直線的方程，使得為常數．

20．本題主要考查求曲線的軌跡方程、兩條直線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分15分．

（Ⅰ）解：設為上的點，則

，

到直線的距離為．

由題設得．

化簡，得曲線的方程為．

（Ⅱ）解法一：

設，直線，則

，從而．

在中，因為

，

．

所以 .

，

．

當時，，

從而所求直線方程為．

解法二：設，直線，則，從而

．

過垂直于的直線．

因為，所以，

．

當時，，

從而所求直線方程為．

64.（陜西理20文21）（本小題滿分12分）

已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．

（Ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；

（Ⅱ）是否存在實數使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

20．解法一：（Ⅰ）如圖，設，，把代入得，

由韋達定理得，，

，點的坐標為．

設拋物線在點處的切線的方程為，

將代入上式得，

直線與拋物線相切，

，．

即．

（Ⅱ）假設存在實數，使，則，又是的中點，

．

由（Ⅰ）知

．

軸，．

又

  ．

，解得．

即存在，使．

解法二：（Ⅰ）如圖，設，把代入得

．由韋達定理得．

，點的坐標為．，，

拋物線在點處的切線的斜率為，．

（Ⅱ）假設存在實數，使．

由（Ⅰ）知，則

，

，，解得．

即存在，使．

65.（天津理21文22）（本小題滿分14分）

已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．

21.．本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．滿分14分．

（Ⅰ）解：設雙曲線的方程為，由題設得

   解得

所以雙曲線的方程為．

（Ⅱ）解：設直線的方程為，點，的坐標滿足方程組

將①式代入②式，得，整理得

．

此方程有兩個不等實根，于是，且

．整理得

．        ③

由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足

，．

從而線段的垂直平分線的方程為

．

此直線與軸，軸的交點坐標分別為，．由題設可得

．

整理得

，．

將上式代入③式得，

整理得

，．

解得或．

所以的取值范圍是．

66.（湖南理20）（本小題滿分13分）

若是拋物線上的不同兩點，弦（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點，則稱弦是點的一條“相關弦”．已知當時，點存在無窮多條“相關弦”．給定．

（Ⅰ）證明：點的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同；

（Ⅱ）試問：點的“相關弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，請說明理由．

20．解：（I）設AB為點的任意一條“相關弦”，且點的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁x₂），則，_，，

兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．因為x₁x₂，所以y₁+y₂0．

設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（x_m， y_m），則

．

從而AB的垂直平分線l的方程為 ．

又點在直線上，所以．

而，于是．

故點的所有“相關弦”的中點的橫坐標都是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦所在直線的方程是，代入中，

整理得．     （*）

則是方程（*）的兩個實根，且．

設點的“相關弦”AB的弦長為l，則

．

因為，于是設，則．

記．

若，則，所以當，即時，

l有最大值．

若，則，在區間上是減函數，所以

，l不存在最大值．

綜上所述，當時，點的“相關弦”的弦長中存在最大值，且最大值為；當時，點的“相關弦”的弦長中不存在最大值．

67.（上海文20）（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分．

已知雙曲線．

（1）求雙曲線的漸近線方程；

（2）已知點的坐標為．設是雙曲線上的點，是點關于原點的對稱點．

記．求的取值范圍；

（3）已知點的坐標分別為，為雙曲線上在第一象限內的點．記為經過原點與點的直線，為截直線所得線段的長．試將表示為直線的斜率的函數．

20．解：（1）所求漸近線方程為，．??????????????????????????? 3分

（2）設的坐標為，則的坐標為．????????????????????????????????? 4分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

，

的取值范圍是．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（3）若為雙曲線上第一象限內的點，

則直線的斜率．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

由計算可得，當時，；

當時，．????????????????????????????????????????????????? 15分