1.（2003京春文9，理5）在同一坐標系中，方程a²x²+b²y²=1與ax+by²=0（a＞b＞0）的曲線大致是（    ）

2.（2003京春理，7）橢圓（為參數）的焦點坐標為（    ）

A.（0，0），（0，－8）            B.（0，0），（－8，0）

C.（0，0），（0，8）                       D.（0，0），（8，0）

3.（2002京皖春，3）已知橢圓的焦點是F₁、F₂，P是橢圓上的一個動點．如果延長F_1P到Q，使得|PQ|＝|PF₂|，那么動點Q的軌跡是（    ）

A.圓                                                     B.橢圓

C.雙曲線的一支                             D.拋物線

4.（2002全國文，7）橢圓5x²＋ky²＝5的一個焦點是（0，2），那么k等于（    ）

A.－1            B.1              C.                      D. －

5.（2002全國文，11）設θ∈（0，），則二次曲線x²cotθ－y²tanθ＝1的離心率的取值范圍為（    ）

A.（0，）                                      B.（）

C.（）                                 D.（，＋∞）

6.（2002北京文，10）已知橢圓和雙曲線＝1有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是（    ）

A.x＝±                                       B.y＝±

C.x＝±                                         D.y＝±

7.（2002天津理，1）曲線（θ為參數）上的點到兩坐標軸的距離之和的最大值是（    ）

A.                          B.                        C.1                            D.

8.（2002全國理，6）點P（1，0）到曲線（其中參數t∈R）上的點的最短距離為（    ）

A.0                            B.1                            C.                       D.2

9.（2001全國，7）若橢圓經過原點，且焦點為F₁（1，0），F₂（３，0），則其離心率為（    ）

A.                            B.                            C.                            D.

10.（2001廣東、河南，10）對于拋物線y²=4x上任意一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是（    ）

A.（－∞，0）                                                    B.（－∞，2  

C.［0，2］                                                   D.（0，2）

11.（2000京皖春，9）橢圓短軸長是2，長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準線距離是（    ）

A.                      B.                 C.                     D.

12.（2000全國，11）過拋物線y=ax²（a＞0）的焦點F用一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（    ）

A.2a                             B.                    C.4a                             D.

13.（2000京皖春，3）雙曲線＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（    ）

A.2                               B.                     C.                     D.

14.（2000上海春，13）拋物線y=－x²的焦點坐標為（    ）

A.（0，）                                            B.（0，－）        

C.（，0）                                                 D.（－，0）

15.（2000上海春，14）x=表示的曲線是（    ）

A.雙曲線                                                         B.橢圓

C.雙曲線的一部分                                                 D.橢圓的一部分

16.（1999上海理，14）下列以t為參數的參數方程所表示的曲線中，與xy=1所表示的曲線完全一致的是（    ）

A.                                                  B.

C.                                                D.

17.（1998全國理，2）橢圓=1的焦點為F₁和F₂，點P在橢圓上.如果線段PF₁的中點在y軸上，那么|PF₁|是|PF₂|的（    ）

A.7倍              B.5倍                  C.4倍                  D.3倍

18.（1998全國文，12）橢圓=1的一個焦點為F₁，點P在橢圓上.如果線段PF₁的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是（    ）

A.±         B.±                            C.±                     D.±

19.（1997全國，11）橢圓C與橢圓，關于直線x+y=0對稱，橢圓C的方程是（    ）

A.                     B.

C.                     D.

20.（1997全國理，9）曲線的參數方程是（t是參數，t≠0），它的普通方程是（    ）

A.（x－1）²（y－1）＝1                       B.y＝

C.y＝                                   D.y＝＋1

21.（1997上海）設θ∈（π，π），則關于x、y的方程x²cscθ－y²secθ=1所表示的曲線是（    ）

A.實軸在y軸上的雙曲線                       B.實軸在x軸上的雙曲線

C.長軸在y軸上的橢圓                           D.長軸在x軸上的橢圓

22.（1997上海）設k＞1，則關于x、y的方程（1－k）x²+y²=k²－1所表示的曲線是（    ）

A.長軸在y軸上的橢圓                          B.長軸在x軸上的橢圓

C.實軸在y軸上的雙曲線                       D.實軸在x軸上的雙曲線

23.（1996全國文，9）中心在原點，準線方程為x=±4，離心率為的橢圓方程是（    ）

A.＝1                                      B.＝1

C.＋y²＝1                                                 D.x²＋＝1

24.（1996上海，5）將橢圓＝1繞其左焦點按逆時針方向旋轉90°，所得橢圓方程是（    ）

A.                     B.

C.                     D.

25.（1996上海理，6）若函數f（x）、g（x）的定義域和值域都為R，則f（x）>g（x）（x∈R）成立的充要條件是（    ）

A.有一個x∈R，使f（x）>g（x）

B.有無窮多個x∈R，使得f（x）>g（x）

C.對R中任意的x，都有f（x）>g（x）+1

D.R中不存在x，使得f（x）≤g（x）

26.（1996全國理，7）橢圓的兩個焦點坐標是（    ）

A.（－3，5），（－3，－3）                    B.（3，3），（3，－5）

C.（1，1），（－7，1）                                   D.（7，－1），（－1，－1）

27.（1996全國文，11）橢圓25x²－150x+9y²+18y+9=0的兩個焦點坐標是（    ）

A.（－3，5），（－3，3）                      B.（3，3），（3，－5）

C.（1，1），（－7，1）                          D.（7，－1），（－1，－1）

28.（1996全國）設雙曲線=1（0＜a＜b）的半焦距為c，直線l過（a，0），（0，b）兩點.已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為（    ）

A.2                            B.                         C.                        D.

29.（1996上海理，7）若θ∈［0，］，則橢圓x²+2y²－2xcosθ+4ysinθ=0的中心的軌跡是（    ）

30.（1995全國文6，理8）雙曲線3x²－y²＝3的漸近線方程是（    ）

A.y=±3x                                                 B.y＝±x

C.y＝±x                                  D.y＝±

31.（1994全國，2）如果方程x²＋ky²＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數k的取值范圍是（    ）

A.（0，＋∞）                                 B.（0，2）   

C.（1，＋∞）                                  D.（0，1）

32.（1994全國，8）設F₁和F₂為雙曲線y²＝1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足∠F₁PF₂＝90°，則△F₁PF₂的面積是（    ）

A.1                         B.                     C.2             D.

33.（1994上海，17）設a、b是平面α外任意兩條線段，則“a、b的長相等”是a、b

在平面α內的射影長相等的（    ）

A.非充分也非必要條件                          B.充要條件

C.必要非充分條件                                          D.充分非必要條件

34.（1994上海，19）在直角坐標系xOy中，曲線C的方程是y=cosx，現在平移坐標系，把原點移到O′（，－），則在坐標系x′O′y′中，曲線C的方程是（    ）

A.y′=sinx′+                                   B.y′=－sinx′+

C.y′=sinx′－                                  D.y′=－sinx′－

 35.（2003京春，16）如圖8―1，F₁、F₂分別為橢圓=1的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF₂是面積為的正三角形，則b²的值是_____.

36.（2003上海春，4）直線y=x－1被拋物線y²=4x截得線段的中點坐標是_____.

37.（2002上海春，2）若橢圓的兩個焦點坐標為F₁（－1，0），F₂（5，0），長軸的長為10，則橢圓的方程為       ．

38.（2002京皖春，13）若雙曲線＝1的漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的焦點坐標是       ．

39.（2002全國文，16）對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：

①焦點在y軸上；

②焦點在x軸上；

③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；

④拋物線的通徑的長為5；

⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）．

能使這拋物線方程為y²＝10x的條件是        ．（要求填寫合適條件的序號）

40.（2002上海文，8）拋物線（y－1）²＝4（x－1）的焦點坐標是        ．

41.（2002天津理，14）橢圓5x²－ky²＝5的一個焦點是（0，2），那么k＝        ．

42.（2002上海理，8）曲線（t為參數）的焦點坐標是_____.

43.（2001京皖春，14）橢圓x²＋4y²＝4長軸上一個頂點為A，以A為直角頂點作一個內接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是       ．

44.（2001上海，3）設P為雙曲線y²＝1上一動點，O為坐標原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是     ．

45.（2001上海，5）拋物線x²－4y－3＝0的焦點坐標為     ．

46.（2001全國，14）雙曲線＝1的兩個焦點為F₁、F₂，點P在雙曲線上，若PF₁⊥PF₂，則點P到x軸的距離為      .

47.（2001上海春，5）若雙曲線的一個頂點坐標為（3，0），焦距為10，則它的標準方程為_____.

48.（2001上海理，10）直線y=2x－與曲線（為參數）的交點坐標是_____.

49.（2000全國，14）橢圓＝1的焦點為F₁、F₂，點P為其上的動點，當∠F₁PF₂為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是_____.

50.（2000上海文，3）圓錐曲線＝1的焦點坐標是_____.

51.（2000上海理，3）圓錐曲線的焦點坐標是_____.

52.（1999全國，15）設橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點為F₁，右準線為l₁，若過F₁且垂直于x軸的弦的長等于點F₁到l₁的距離，則橢圓的離心率是         .

53.（1999上海5）若平移坐標系，將曲線方程y²+4x－4y－4=0化為標準方程，則坐標原點應移到點O′   (    )   .

54.（1998全國，16）設圓過雙曲線=1的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是       .

55.（1997全國文，17）已知直線x－y=2與拋物線y²=4x交于A、B兩點，那么線段AB的中點坐標是_____.

56.（1997上海）二次曲線（θ為參數）的左焦點坐標是_____.

57.（1996上海，16）平移坐標軸將拋物線4x²－8x＋y＋5＝0化為標準方程x′²＝ay′（a≠0），則新坐標系的原點在原坐標系中的坐標是       ．

58.（1996全國文，16）已知點（－2，3）與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的距離是5，則p=_____.

59.（1996全國理，16）已知圓x²+y²－6x－7=0與拋物線y²=2px（p＞0）的準線相切，則p=_____.

60.（1995全國理，19）直線L過拋物線y²＝a（x+1）（a>0）的焦點，并且與x軸垂直，若L被拋物線截得的線段長為4，則a=      .

61.（1995全國文，19）若直線L過拋物線y²＝4（x+1）的焦點，并且與x軸垂直，則L被拋物線截得的線段長為      .

62.（1995上海，15）把參數方程（α是參數）化為普通方程，結果是     ．

63.（1995上海，10）雙曲線=8的漸近線方程是      .

64.（1995上海，14）到點A（－1，0）和直線x=3距離相等的點的軌跡方程是      .

65.（1994全國，17）拋物線y²＝8－4x的準線方程是      ，圓心在該拋物線的頂點且與其準線相切的圓的方程是      ．

66.（1994上海，7）雙曲線－x²=1的兩個焦點的坐標是      .

67.（2003上海春，21）設F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點.

（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；

（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明.

68.（2002上海春，18）如圖8―2，已知F₁、F₂為雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點，過F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF₁F₂＝30°．求雙曲線的漸近線方程．

69.（2002京皖文，理，22）已知某橢圓的焦點是F₁（－4，0）、F₂（4，0），過點F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F₁B|＋|F₂B|＝10．橢圓上不同的兩點A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）滿足條件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列．

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）求弦AC中點的橫坐標；

（Ⅲ）設弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．

70.（2002全國理，19）設點P到點M（－1，0）、N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2．求m的取值范圍．

71.（2002北京，21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三個頂點．如圖8―3.

（Ⅰ）寫出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標，并證明G、F、H三點共線；

（Ⅱ）當直線FH與OB平行時，求頂點C的軌跡．

72.（2002江蘇，20）設A、B是雙曲線x²＝1上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點．

（Ⅰ）求直線AB的方程；

（Ⅱ）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓，為什么?

73.（2002上海，18）已知點A（，0）和B（，0），動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2，點C的軌跡與直線y=x－2交于D、E兩點，求線段DE的長．

74.（2001京皖春，22）已知拋物線y²＝2px（p＞0）.過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值.

75.（2001上海文，理，18）設F₁、F₂為橢圓＝1的兩個焦點，P為橢圓上的一點．已知P、F₁、F₂是一個直角三角形的三個頂點，且|PF₁|＞|PF₂|，求的值．

76.（2001全國文20，理19）設拋物線y²＝2px（p＞0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸.證明直線AC經過原點O.

77.（2001上海春，21）已知橢圓C的方程為x²+=1，點P（a，b）的坐標滿足a²+≤1，過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，求：

（1）點Q的軌跡方程；

（2）點Q的軌跡與坐標軸的交點的個數.

78.（2001廣東河南21）已知橢圓+y²=1的右準線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BC∥x軸.

求證：直線AC經過線段EF的中點.

79.（2000上海春，22）如圖8―4所示，A、F分別是橢圓＝1的一個頂點與一個焦點，位于x軸的正半軸上的動點T（t，0）與F的連線交射影OA于Q．求：

（1）點A、F的坐標及直線TQ的方程；

（2）△OTQ的面積S與t的函數關系式S=f（t）及其函數的最小值；

（3）寫出S=f（t）的單調遞增區間，并證明之．

80.（2000京皖春，23）如圖8―5，設點A和B為拋物線y²＝4px（p＞0）上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．

81.（2000全國理，22）如圖8―6，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CＤ|，點E分有向線段所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點．當≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍．

圖8―5              圖8―6            圖8―7

82.（2000全國文，22）如圖8―7，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點．求雙曲線離心率．

83.（2000上海，17）已知橢圓C的焦點分別為F₁（，0）和F₂（2，0），長軸長為6，設直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標．

84.（1999全國，24）如圖8―8，給出定點A（a，0）（a＞0）和直線l：x=－1.B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C.求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系.

注：文科題設還有條件a≠1

85.（1999上海，22）設橢圓C₁的方程為=1（a＞b＞0），曲線C₂的方程為y=，且C₁與C₂在第一象限內只有一個公共點P.

（Ⅰ）試用a表示點P的坐標.

（Ⅱ）設A、B是橢圓C₁的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數S（a）的值域；

（Ⅲ）設min｛y₁，y₂，…，y_n｝為y₁，y₂，…，y_n中最小的一個.設g（a）是以橢圓C₁的半焦距為邊長的正方形的面積，求函數f（a）=min｛g（a），S（a）｝的表達式.

86.（1998全國理，24）設曲線C的方程是y=x³－x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度后得曲線C₁.

（Ⅰ）寫出曲線C₁的方程；

（Ⅱ）證明曲線C與C₁關于點A（）對稱；

（Ⅲ）如果曲線C與C₁有且僅有一個公共點，證明s=－t且t≠0.

87.（1998全國文22，理21）如圖8―9，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁.以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當的坐標系，求曲線段C的方程.

88.（1998上海理，20）（1）動直線y=a與拋物線y²=（x－2）相交于A點，動點B的坐標是（0，3a），求線段AB中點M的軌跡C的方程；

（2）過點D（2，0）的直線l交上述軌跡C于P、Q兩點，E點坐標是（1，0），若△EPQ的面積為4，求直線l的傾斜角α的值.

89.（1997上海）拋物線方程為y²=p（x+1）（p＞0），直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準線的右邊.

（1）求證：直線與拋物線總有兩個交點；

（2）設直線與拋物線的交點為Q、R，OQ⊥OR，求p關于m的函數f（m）的表達式；

（3）（文）在（2）的條件下，若拋物線焦點F到直線x+y=m的距離為，求此直線的方程；

（理）在（2）的條件下，若m變化，使得原點O到直線QR的距離不大于，求p的值的范圍.

90.（1996全國理，24）已知l₁、l₂是過點P（－，0）的兩條互相垂直的直線，且l₁、l₂與雙曲線y²－x²＝1各有兩個交點，分別為A₁、B₁和A₂、B₂.

（Ⅰ）求l₁的斜率k₁的取值范圍；

（Ⅱ）（理）若|A₁B₁|＝|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程.

（文）若A₁恰是雙曲線的一個頂點，求|A₂B₂|的值.

91.（1996上海，23）已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點，且與以點A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點A′與點A關于直線y=x對稱.設直線l過點A，斜率為k.

（1）求雙曲線S的方程；

（2）當k=1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為；

（3）當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應的點B的坐標，如圖8―10.

92.（1995全國理，26）已知橢圓如圖8―11，＝1，直線L：＝1，P是L上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|?|OP|＝|OR|².當點P在L上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

93.（1995上海，24）設橢圓的方程為＝1（m，n>0），過原點且傾角為θ和π－θ（0＜θ＜＝的兩條直線分別交橢圓于A、C和B、D兩點，

（Ⅰ）用θ、m、n表示四邊形ABCD的面積S；

（Ⅱ）若m、n為定值，當θ在（0，］上變化時，求S的最小值u；

（Ⅲ）如果μ>mn，求的取值范圍.

94.（1995全國文，26）已知橢圓=1，直線l：x=12.P是直線l上一點，射線OP交橢圓于點R.又點Q在OP上且滿足|OQ|?|OP|=|OR|².當點P在直線l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

95.（1994全國理，24）已知直線L過坐標原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點A（－1，0）和點B（0，8）關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程.

96.（1994上海，24）設橢圓的中心為原點O，一個焦點為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．

（1）求橢圓的方程；

（2）設經過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q、點P在該直線上，且，當t變化時，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

●答案解析

1.答案：D

解析一：將方程a²x²+b²y²=1與ax+by²=0轉化為標準方程：.因為a＞b＞0，因此，＞0，所以有：橢圓的焦點在y軸，拋物線的開口向左，得D選項.

解析二：將方程ax+by²=0中的y換成－y，其結果不變，即說明：ax+by²=0的圖形關于x軸對稱，排除B、C，又橢圓的焦點在y軸.故選D.

評述：本題考查橢圓與拋物線的基礎知識，即標準方程與圖形的基本關系.同時，考查了代數式的恒等變形及簡單的邏輯推理能力.

2.答案：D

解析：利用三角函數中的平方和關系消參，得=1，∴c²=16，x－4=±4，而焦點在x軸上，所以焦點坐標為：（8，0），（0，0），選D.如果畫出=1的圖形，則可以直接“找”出正確選項.

評述：本題考查將參數方程化為普通方程的思想和方法，以及利用平移變換公式進行邏輯推理，同時也考查了數形結合的思想方法.

3.答案：A

解析：由第一定義得，|PF₁|+|PF₂|為定值

∵|PQ|=|PF₂|，

∴|PF₁|+|PQ|為定值，即|F₁Q|為定值.

4.答案：B

解析：橢圓方程可化為：x²+=1

∵焦點（0，2）在y軸上，∴a²=，b²=1，

又∵c²=a²－b²=4，∴k=1

5.答案：D

解析：∵θ∈（0，），∴sinθ∈（0，），

∴a²=tanθ，b²=cotθ

∴c²=a²+b²=tanθ+cotθ，

∴e²=，∴e=，

∴e∈（，+∞）

6.答案：D

解析：由雙曲線方程判斷出公共焦點在x軸上

∴橢圓焦點（，0），雙曲線焦點（，0）

∴3m²－5n²=2m²+3n²

∴m²=8n²

又∵雙曲線漸近線為y=±?x

∴代入m²=8n²，|m|=2|n|，得y=±x

7.答案：D

解析：設曲線上的點到兩坐標軸的距離之和為d

∴d=|x|+|y|=|cosθ|+|sinθ|

設θ∈［0，］

∴d=sinθ+cosθ=sin（θ+）

∴d_max=.

8.答案：B

解法一：將曲線方程化為一般式：y²=4x

∴點P（1，0）為該拋物線的焦點

由定義，得：曲線上到P點，距離最小的點為拋物線的頂點.

解法二：設點P到曲線上的點的距離為d

∴由兩點間距離公式，得

d²=（x－1）²+y²=（t²－1）²+4t²=（t²+1）²

∵t∈R  ∴d_min²=1  ∴d_min=1

9.答案：C

解析：由F₁、F₂的坐標得2c＝3－1，c＝1，

又∵橢圓過原點a－c＝1，a＝1＋c＝2，

又∵e＝，∴選C.

10.答案：B

解析：設點Q的坐標為（，y₀），

由 |PQ|≥|a|，得y₀²+（－a）²≥a².

整理，得：y₀²（y₀²+16－8a）≥0，

∵y₀²≥0，∴y₀²+16－8a≥0.

即a≤2+恒成立.而2+的最小值為2.

∴a≤2.選B.

11.答案：D

解析：由題意知a=2，b=1，c=，準線方程為x=±，

∴橢圓中心到準線距離為．

12.答案：C

解析：拋物線y=ax²的標準式為x²＝y，

∴焦點F（0，）.

取特殊情況，即直線PQ平行x軸，則p=q.

如圖8―13，∵PF＝PM，∴p＝，

故．

13.答案：C

解析：漸近線方程為y=±x，由?（－）＝－1，得a²＝b²，

∴c＝a，e＝．

14.答案：B

解析：y=－x²的標準式為x²＝－y，∴p＝，焦點坐標F（0，－）．

15.答案：D

解析：x=化為x²＋3y²＝1（x＞0）．

16.答案：D

解析：由已知xy=1可知x、y同號且不為零，而A、B、C選項中盡管都滿足xy=1，但x、y的取值范圍與已知不同.

17.答案：A 

解析：不妨設F₁（－3，0），F₂（3，0）由條件得P（3，±），即|PF₂|=，|PF₁|=，因此|PF₁|=7|PF₂|，故選A.

評述：本題主要考查橢圓的定義及數形結合思想，具有較強的思辨性，是高考命題的方向.

18.答案：A 

解析：由條件可得F₁（－3，0），PF₁的中點在y軸上，∴P坐標（3，y₀），又P在=1的橢圓上得y₀=±，

∴M的坐標（0，±），故選A.

評述：本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質，中點坐標公式以及運算能力.

19.答案：A 

解析：將已知橢圓中的x換成－y，y換成－x便得橢圓C的方程為＝1，所以選A.

評述：本題考查了橢圓的方程及點關于直線的對稱問題.

20.答案：B 

解法一：由已知得t＝，代入y＝1－t²中消去t，得y＝1，故選B.

解法二：令t＝1，得曲線過（0，0），分別代入驗證，只有B適合，故選B.

評述：本題重點考查參數方程與普通方程的互化，考查等價轉化的能力．

21.答案：C

解析：由已知得方程為=1

由于θ∈（，π），因此sinθ＞0，cosθ＜0，且|sinθ|＜|cosθ|

∴原方程表示長軸在y軸上的橢圓.

22.答案：C

解析：原方程化為=1

由于k＞1，因此它表示實軸在y軸上的雙曲線.

23.答案：A 

解析：由已知有a＝2，c＝1，b²＝3,于是橢圓方程為＝1,故選A.

評述：本題考查了橢圓的方程及其幾何性質，以及待定系數法和運算能力.

24.答案：C

解析：如圖8―14，原點O逆時針方向旋轉90°到O′，則O′（－4，4）為旋轉后橢圓的中心，故旋轉后所得橢圓方程為＝1．所以選C.

25.答案：D 

解析：R中不存在x，使得f（x）≤g（x），即是R中的任意x都有f（x）>g（x），

故選D.

26.答案：B 

解析：可得a＝3，b＝5，c＝4，橢圓在新坐標系中的焦點坐標為（0，±4），在原坐標系中的焦點坐標為（3，3），（3，－5），故選B.

評述：本題重點考查橢圓的參數方程、坐標軸的平移等基本知識點，考查數形結合的能力．

27.答案：B

解析：把已知方程化為=1，∴a=5，b=3，c=4

∵橢圓的中心是（3，－1），

∴焦點坐標是（3，3）和（3，－5）.

28.答案：A

解析：由已知，直線l的方程為ay+bx－ab=0，原點到直線l的距離為c，則有，

又c²=a²+b²，∴4ab=c²，兩邊平方，得16a²（c²－a²）=3c⁴，兩邊同除以a⁴，并整理，得3e⁴－16e²+16=0

∴e²=4或e²=.

而0＜a＜b，得e²=＞2，∴e²=4.故e=2.

評述：本題考查點到直線的距離，雙曲線的性質以及計算、推理能力.難度較大，特別是求出e后還須根據b＞a進行檢驗.

29.答案：D

解析：把已知方程化為標準方程，得+（y+sinθ）²=1.

∴橢圓中心的坐標是（cosθ，－sinθ）.

其軌跡方程是θ∈［0，］.

即+y²=1（0≤x≤，－1≤y≤0）.

30.答案：C 

解法一：將雙曲線方程化為標準形式為x²－＝1，其焦點在x軸上，且a=1，b=，故其漸近線方程為y＝±x＝±x，所以應選C.

解法二：由3x²－y²＝0分解因式得y＝±x，此方程即為3x²－y²＝3的漸近線方程，故應選C.

評述：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質.

31.答案：D 

解析：原方程可變為＝1，因為是焦點在y軸的橢圓，所以，解此不等式組得0<k<1，因而選D.

評述：本題考查了橢圓的方程及其幾何意義以及解不等式的方法，從而考查了邏輯思維能力和運算能力.

32.答案：A 

解法一：由雙曲線方程知|F₁F₂|＝2，且雙曲線是對稱圖形，假設P（x，），由已知F₁P⊥F₂ P，有，即，因此選A.

解法二：S_△=b²cot=1×cot45°=1.

評述：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、兩條直線垂直的條件、三角形面積公式以及運算能力.

33.答案：A 

解析：a、b長相等a、b在平面α內的射影長相等，因此選A.

34.答案：B

解析：由已知得平移公式代入曲線C的方程，得y′－=cos（x′+）.即y′=－sinx′+.

35.答案：2

解析：因為F₁、F₂為橢圓的焦點，點P在橢圓上，且正△POF₂的面積為，所以S=|OF₂|?|PO|sin60°=c²，所以c²=4.

∴點P的橫、縱坐標分別為c，即P（1，）在橢圓上，所以有=1，又b²+c²=a²，

解得b²=2.

評述：本題主要考查橢圓的基本知識以及基本計算技能，體現出方程的思想方法.

36.答案：（3，2）

解法一：設直線y=x－1與拋物線y²=4x交于A(x₁，y₁),B（x₂，y₂）,其中點為P（x₀，y₀）.

由題意得，（x－1）²=4x，x²－6x+1=0.

∴x₀==3.y₀=x₀－1=2.∴P（3，2）.

解法二：y₂²=4x₂，y₁²=4x₁，y₂²－y₁²=4x₂－4x₁

=4.∴y₁+y₂=4，即y₀=2，x₀=y₀+1=3.

故中點為P（3，2）.

評述：本題考查曲線的交點與方程的根的關系.同時應注意解法一中的縱坐標與解法二中的橫坐標的求法.

37.答案： =1

解析：由兩焦點坐標得出橢圓中心為點（2，0），焦半徑c=3

∵長軸長為10，∴2a=10，

∴a=5，∴b==4

∴橢圓方程為=1

38.答案：（±，0）

解析：由雙曲線方程得出其漸近線方程為y=±x

∴m=3，求得雙曲線方程為=1，從而得到焦點坐標.

39.答案：②，⑤

解析：從拋物線方程易得②，分別按條件③、④、⑤計算求拋物線方程，從而確定⑤.

40.答案：（2，1）

解析：拋物線（y－1）²=4（x－1）的圖象為拋物線y²=4x的圖象沿坐標軸分別向右、向上平移1個單位得來的.

∵拋物線y²=4x的焦點為（1，0）

∴拋物線（y－1）²=4（x－1）的焦點為（2，1）

41.答案：－1

解析：橢圓方程化為x²+=1

∵焦點（0，2）在y軸上，

∴a²=，b²=1

又∵c²=a²－b²=4，∴k=－1

42.答案：（0，1）

解析：將參數方程化為普通方程：（y－1）²=4（x+1）

該曲線為拋物線y²=4x分別向左，向上平移一個單位得來.

43.答案：

解析：原方程可化為＋y²＝1，a²＝4，b²＝1

∴a＝2，b＝1，c＝

當等腰直角三角形，設交點（x，y）（y＞0）可得2－x＝y，

代入曲線方程得：y＝           ∴S＝×2y²＝

44.答案：x²－4y²＝1

解析：設P（x₀，y₀）  ∴M（x，y）

∴  ∴2x＝x₀，2y＝y₀

∴－4y²＝1x²－4y²＝1

45.答案：（0，）

解析：x²＝4y＋3x²＝4（y＋）

∴y＋＝1，y＝，∴坐標（0，）

46.答案：

解析：設|PF₁|＝M，|PF₂|＝n（m＞n）

a＝3  b＝4  c＝5

∴m－n＝６  m²＋n²＝4c²

m²＋n²－（m－n）²＝m²＋n²－（m²＋n²－2mn）＝2mn＝4×25－36＝64

mn＝32.

又利用等面積法可得：2c?y＝mn，∴y＝

47.答案： =1

解析：由已知a=3，c=5，∴b²=c²－a²=16

又頂點在x軸，所以標準方程為=1.

48.答案：（）